_
_
D.3
2 2i i i 2 2 i 1 3i
2 2 例6.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i

2 2 2 解：原式 (1 i ) 2i 1 i 1 i 2(1 i ) 2(1 i ) 2i 2i (1 i )(1 i ) 2
2 7i
小结： 1 2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i
a+bi 1 c+di 2
=
=
(a+bi)(c-di) (c+di)(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i
c2+d2 = ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
例3 计算: （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
1 i 8 ) . 例4 计算( 1 i 8 2 1 i 8 （ i） 1 解 ( ) 1 i （ - i） i ) (1 1
2i 8 （ ） 2
i 1
8
例5.把复数z的共轭复数记作 z , i为虚数单位， 若z 1 i则（ z） z A 1 A.3 i B.3 i C.1 3i
_ 解： z 1 i, 原式 (1 1 i ) (1 i ) (2 i ) (1 i )
例1
已知1 2 i, 2 3 4i 计算1 2。
解
1 2 2 i）3 4i) （ (
6 8i 3i 4i
10 5i
2
例2
求证：) (1
2
2
证明：设 a bi, 则 a bi, 于是
1 2 3 4
i __ , i - 1 , i __ , i __ __ 1 -i i
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
i
i
4n 2
1
, i
4n 3
【练习1】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006
解：原式 i i i i ） （ （i i i i ） ...
5 6 7 8
（i
2001
i
1
2002 2
i
2003
i
2004
）i
2005
i
2006
0 i i i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi
ac adi bci bdi
(ac bd ) (ad bc)i
显然，两个复数的乘积仍为复数
2
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 2 3） （
1 2 3） 1 2 1 3 （
记作
c+di
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
于是
1 2 1 2
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
mzn=zm+n, z
m)n=zmn, (z
Байду номын сангаас
(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
2 2
a b 2abi
2 2
( ) (a bi)
2
2
于是
a b 2abi
2 2
） （Z
2 2
(2)求证：1 2 1 2
证明： a bi, c di, 则 设 1 2
1 2 ac bd） (ad bc)i （ ac bd） (ad bc)i （ 1 2 a bi） di) （ (c ac bd） (ad bc)i （
(a bi)(a bi) 2 2 2 a abi bai b i
a b2
2 2

2
表明：两个互为共轭的两个复数的乘积等 于这个复数（或其共轭复数）模的平方
(2)求证： Z） （
2 2
证明： a bi, 则 设
a bi） （
3.2.2复数的乘法和除法
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要把 i 换 成 -1 ，并把最后的结果写成
2 2
a bi(a, b R) 的形式。
设 z1 a bi , z2 c di (a，b，c，d R)
则
z1 z2 a bi）c di) （ (
1 i
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 z2 1 i, 则复数z 2 ______
2.计算：
（1）
(7 6i)(3i) (2) (3 4i)(2 3i)
(1 i)(2 i) i
(3) (1+2i)(3-4i)(-2-i) (4)
3、如果k和 k 3i 都是实数，求实数k .