专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·西城一模)已知函数f (x )＝sin 4ωx －cos 4ωx 的最小正周期是π，那么正
数ω＝
A ．2
B ．1 C.1
2
D.14
解析 f (x )＝sin 4ωx －cos 4ωx
＝(sin 2ωx －cos 2ωx )(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＝－cos 2ωx ，
∴T ＝
2π
2ω
＝π，得ω＝1. 答案 B
2．(2012·三明模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 图象的一条对称轴方程为x
＝－π
6
，则实数a 的值为
A ．－33
B.
33
C ．－ 3 D.3
解析 据题意知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3，
即a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2π3， 解得a ＝－3
3.
答案 A
3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭⎪⎫其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到g (x )
＝sin ωx 的图象，可以将f (x )的图象
A ．向右平移
π
6
个单位长度
B ．向右平移
π
3
个单位长度 C ．向左平移π
6
个单位长度 D ．向左平移
π
3
个单位长度 解析 由题意可知，T 4＝7π12－π
3，
∴T ＝π，∴ω＝2.
又2×
π3＋φ＝π，∴φ＝π3
， ∴f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，
∴可以将f (x )的图象向右平移π
6
个单位可得
g (x )＝sin 2x 的图象． 答案 A
4．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3
，π2上单调
递减，则ω＝
A ．3
B ．2 C.3
2
D.23
解析 ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx ≤
π2，即0≤x ≤π2ω
时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由y ＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π3上单调递增，
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.
答案 C
5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－
7π6的值是 A ．－23
3
B.233
C ．－2
3
D.23
⎝⎭得
32cos α－32sin α＝23
3
， 即－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α－1
2cos α＝23，
即sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α－π6＝－23，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α－π6－π ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝23.故选D. 答案 D
6．(2012·青岛二模)已知函数f (x )＝cos x ＋12x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2
，π2，sin x 0＝12，x 0
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2
，π2，那么下面命题中真命题的序号是
①f (x )的最大值为f (x 0)；②f (x )的最小值为f (x 0)
③f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，x 0上是增函数；④f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤x 0，π2上是增函数
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解析 f ′(x )＝－sin x ＋1
2
，∴当f ′(x )＞0，
即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2
，π6时，f (x )单调递增，
当f ′(x )＜0，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，π2时，f (x )单调递减，
故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝f (x 0)，
所以①③为真命题，②④为假命题． 答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·赣州模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy ，角α的终边与单位圆交于
点A ，已知点A 的纵坐标为4
5
，则cos α＝________.
解析 由图知点A 的横坐标为－35，∴cos α＝－3
5.
答案 －3
5
8．(2012·兰州模拟)已知cos(π－α)＝－35，0＜α＜π，则tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝
________.
解析 ∵cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝3
5，
又0＜α＜π，∴sin α＝4
5，
则tan α＝4
3
，
∴tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋
431－
43
＝－7.
答案 －7
9．(2012·安徽师大附中模拟)在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，
1)，θ∈⎝
⎛
⎦⎥⎤0，π2，则△OAB 的面积达到最大值时，θ＝________.
解析 如图所示：
S △AOB ＝S 正方形OCED －S △AOC －S △BOD －S △ABE
＝1－12cos θ－12sin θ－1
2(1－sin θ)(1－cos θ)
＝12－1
4
sin 2θ. ∵θ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π2，∴2θ∈(0，π]，∴sin 2θ∈[0,1]，
∴当sin 2θ＝0，即θ＝π2时，S △AOB 有最大值为1
2
.
答案
2
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．(2012·门头沟模拟)已知：函数f (x )＝3sin 2
ωx 2
＋sin
ωx 2
cos
ωx 2
(ω＞0)的
周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间．
解析 (1)f (x )＝
32(1－cos ωx )＋1
2
sin ωx ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx －π3＋32，
因为函数的周期为π，所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π3＋32， 当2k π－
π2≤2x －π3≤2k π＋π
2
(k ∈Z )时函数单调递增， k π－π12
≤x ≤k π＋
5π
12
(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π12，k π＋
5π12，其中k ∈Z . 11．(2012·张家港模拟)已知函数f (x )＝cos x (3cos x －sin x )－ 3.
(1)求f ⎝ ⎭
⎪3的值；
(2)求函数y ＝f (x )在区间⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最小值，并求使y ＝f (x )取得最小值时的x 的
值．
解析 因为f (x )＝cos x (3cos x －sin x )－3 ＝3cos 2x －sin x cos x －3 ＝3⎝
⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－1
2
sin 2x －3 ＝32cos 2x －12sin 2x －32＝cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6－32. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2×π3＋π6－32＝－32－32＝－ 3.
(2)因为x ∈⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.
当2x ＋
π6＝π时，即x ＝5π12时，函数y ＝f (x )有最小值是－1－3
2
. 当x ＝
5π12时，函数y ＝f (x )有最小值是－1－32
. 12．(2012·济南模拟)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，
3sin 2x )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2≥ab ，求f (C )的取值范
围．
解析 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，
∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，在[0，π]上单调递增区间为⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6，
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2π3，π. (2)a 2
＋b 2
－c 2
≥ab ，cos C ≥12，∴0＜C ≤π
3
，
由f (C )＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2C ＋π6＋1，当C ＝π6时，f (C )max ＝3， 当C ＝
π
3
时，f (C )min ＝2，∴f (C )∈[2,3]．。