AE
D1F
(0,1,
) (0, 2
2
, 1)
0.
AE
D1F .
又A D I A E= A , D1F 平面ADE.
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.16
例、已知在空间四边形OABC中，OA BC，
OB AC，求证：OC AB
uuur uuur uuur uuur 证明：由已知 OA B C ，OB AC
uuur uuur uuur uuur 所以 OA BC = 0 , OB AC = 0
uuur uuur uuur
OA ( OC OB ) = 0 uuur uuur uuur
OB ( OC OA ) = 0
uuur uuur uuur uuur
所以 OA OC = OA OB
A
uuur uuur uuur uuur
4
ur
e1
l1
uur
n1
l1 // 1或l1在ur1内uur ur uur e1 n1 e1 n1 0
教材未提
5
l
ur e1
uur n1
ur uur ur uur
l1 1 e1 // n1 e1 n1
教材未提
6
uur n1
1 uur n2
2
1 // 2或1与2u重ur 合uur uur uur
13
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
AC A uuuur
所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1
是平面 ACD1 的一个法向量.
14
练习:
⑴在正方体 ABCD A1B1C1D1中, D1 E 、F 分别是 BB1 、CD 的中点, A1 求证: D1F 平面ADE
5.求平面法向量的方法：
6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104
18
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据
下
(1)列a条 (件2,,判1断,2l1),,lb2的 位(6置,3关,系6). 平行
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
11
例 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直u，uur所uuu以r uAuuBr，AD， AF互相垂直。以 AB，AD，AF 为正交 基底，建立如图所示空间坐标系，
为(-2,-4,k),若// ，则k=
；若
则 k=
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m=
.
3、若l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(1,1/2,2),且l ，则m=
.
21
4、已知空间四边形OABC，OB OC，
AOB AOC ，求证：OA BC
3.
平面的向量表示：
AMgn
r
0
给定一点Ar和一个向量 n ,那么过点
l
r
A,以向量 n 为法向量的平面是完
全确定的.
n
M
A
2
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面 平行、垂直的位置关系呢？
3
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
OB OC = OB OA uuur uuur uuur uuur 所以 OA OC OB OC = 0 uuur uuur uuur
( OA OB ) OC = 0
O
C B
所以OC AB 17
小结
1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 3. 平面的向量表示： 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
取 x 4,则 n (4,
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面
4y 0 2z 0
3, 6)
ABC 的一个法向量.
9
5.求平面法向量的方法r ： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
D
A
C1
B1
E
F
C
B
15
练习.在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E 、F
分别是 BB1 、CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证uu明ur : r设u正uur方体r 的uu棱uur长为ur 1,
z
D1
C1
DA i, DC j, DD1 k.
A1
建立如图的空间直角坐标系
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为OAgBC OAg(OC OB)
uuur uuur uuur uuur
O OAgOC OAgOB
uuur uuur
uuur uuur
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
uuur uuur
uuur uuur
单位法向量. r
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z) r uuur r uuur
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
0 0
即
2x 4 x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y
z
2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
A
C
0
B
OA BC
22
练习:用空间向量来解决下列题目
1．如图，正方体 ABCD ABCD中， D
C
E为 DD的中点， 证明：BD //平面AEC
A
B
E
D
C
2、在正方体AC 中，E、F、G、P、 A
Q、R分别是所在棱AB、BC、BB
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
待定系数法
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
10
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
uuur
3uuur 3 3
33 3
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的
uuuur
则AD (1, uuur uuuur
0,
0),
D1F
AuDuurD1Fuuuu(r1,
0, 0)
uuur
(0, (0, 1 ,
2
AD D1F. 又 AE (0,
uuur uuuur
11
1 , 1), 2 1) 0.
1, 1 ), 2
D A
x
uuur
B1
F E Cy
B
uuuur
平行
19
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
20
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量
D
AD 、D C 、DD的中点， 求证：⑴平面PQR∥平面EFG。
P A
R
⑵ BD⊥平面EFG
D
A
E
B
Q
C
B
G
C
F B
23
n1 // n2 n1 n27
uur 2 n2
uur n1
1
uur uur uur uur 1 2 n1 n2 n1 n1 0
8
例：法向量的求法
已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的 一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向r 量.
l
1.直线与平面垂直的定义
2. 平面的法向量：
r
r
如果向量n 的基线与平面 垂直，则向量 n
叫平面 的法向量。 几点注意：
1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都
互相平r行; 3.向ur量n 是平面的法向量，向 量m 与平面r平ur行或在平面内，
则有 n m 0
1
uuuur r
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，