１ １ １ ４ ５ １ １ ２ ４ ５ ２ ２ ２ ４ ５ ３ ３ ３ ４ ５ ３ ３ ３ ４ ５
综 上 所 述 ，Ｍ ≤１０；
另一方面，右 边 给 出 的 例 子 说 明 Ｍ 可 以
取到１０．故 Ｍ 的最大值为１０．
第 一 试 （Ｂ）
一 、选 择 题 （本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
［答］（Ｂ）． 由于二次函 数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的 图象的顶 点 在 第 二 象 限，且 过 点 （１，０）和 （０，
１），故ａ＜０，－２ｂａ＜０，ａ＋ｂ＋１＝０，所 以ｂ＜０
且ｂ＝ －ａ－１，于 是 可 得 －１＜ａ＜０． 当ａ－ｂ＝２ａ＋１ 为 整 数 时，因 为 －１＜２ａ
＋１＜１，所 以
１．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 １ 题 相 同 ．
２．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ２ 题 相 同 ． ３．已知二次 函 数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋１（ａ≠０） 的图像的顶点在第二 象 限，且 过 点 （１，０）．当ａ －ｂ 为 整 数 时 ，ａｂ＝ （ ）．
（Ａ）０ （Ｂ）１４ （Ｃ）－４３ （Ｄ）－２
数学竞赛之窗
２０１６年全国初中数学联赛试题及 参 考 答 案 （第 一 试 ）
第 一 试 （Ａ） 一 、选 择 题 （本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ） １．用［ｘ］表 示 不 超 过 ｘ 的 最 大 整 数，把 ｘ
－［ｘ］称为ｘ 的小数部分，已知ｔ＝ １ ，ａ 是
２－槡３
ｔ
的
小数
部
一个数），使 得 同 一 列 中 任 何 两 数 之 差 的 绝 对
值 不 超 过２．考 虑 每 列 中 各 数 之 和 ，设 这５ 个 和
的最小值为 Ｍ，则 Ｍ 的最大值为
．
［答］１０．
依据５个１分布的列数的不同情形分别
求 Ｍ 的最大值，
若５个１分布在同一列，则 Ｍ＝５；
若５个１分布在两列中，则由题 设 知 这 两
１．已知△ＡＢＣ 的顶点Ａ、Ｃ 在反比例函数
ｙ＝槡ｘ３（ｘ＞０）的 图 像 上 ，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ
＝３０°，ＡＢ⊥ｘ 轴，点 Ｂ 在 点 Ａ 的 上 方，且 ＡＢ
＝６，则点 Ｃ 的坐标为
．
［答］（槡２３，２）．
作 ＣＤ⊥ＡＢ 于 点 Ｄ，易 求 得 ＣＤ＝３ ２槡３，
ＡＤ＝３２．设 Ｃ（ｍ，槡ｍ３），Ａ（ｎ，槡ｎ３），结 合 题 意 可
点 ，ＣＤ ＝ＡＯ，ＢＣ＝ＯＤ，则
∠ＡＢＣ＝
．
［答］１２６°．
因为 ＢＣ ∥ ＡＤ，ＣＡ 平 分 ∠ＢＣＤ，所 以
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，所以 ＤＡ＝ＤＣ，又
ＣＤ ＝ ＡＯ，所 以 ＡＤ ＝ ＡＯ，所 以 ∠ＡＤＯ ＝
∠ＡＯＤ．
记∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＤ＝α，∠ＡＤＯ
＝ ∠ＡＯＤ＝β． 又 ＢＣ∥ＡＤ，所 以 △ＡＤＯ∽ △ＣＢＯ，结 合
１．已知 △ＡＢＣ 的 最 大 边 ＢＣ 上 的 高 线 ＡＤ
和中线 ＡＭ 恰好把 ∠ＢＡＣ 三等分，ＡＤ＝槡３，则
ＡＭ＝
．
［答］２．
显 然 ∠ＡＢＣ ≠ ∠ＡＣＢ．若 ∠ＡＢＣ ∠ＡＣＢ，则 由 已 知 条 件 易 知 △ＡＤＭ ≌ △ＡＤＢ，
所以 ＢＤ ＝ ＤＭ ＝ ２１ＣＭ．又 因 为 ＡＭ 平 分
奇数的立 方 差，则 称 这 个 正 整 数 为 “和 谐 数 ”。 如：２＝１３ － （－１）３，２６＝３３ －１３，２ 和 ２６ 均 为 “和谐数”．那 么，不 超 过 ２０１６ 的 正 整 数 中，所 有 的 “和 谐 数 ”之 和 为 （ ）．
（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０ （Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２． ［答］（Ｂ）． 注意到 （２ｋ＋１）３ － （２ｋ－１）３ ＝２（１２ｋ２ ＋ １），由 ２（１２ｋ２ ＋１）≤２０１６ 得｜ｋ｜＜１０． 取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即 得 所 有 的 不 超 过 ２０１６ 的 “和 谐 数 ”，它 们 的 和 为 ［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋ （５３－６３）＋ … ＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０． ４．已 知 ⊙Ｏ 的 半 径 ＯＤ 垂 直 于 弦 ＡＢ，交 ＡＢ 于点Ｃ，连接 ＡＯ 并延长交 ⊙Ｏ 于 点Ｅ，若 ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ 的面积为（ ）． （Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ ［答］（Ａ）． 设 ＯＣ＝ｘ，则 ＯＡ＝ ＯＤ＝ｘ＋２，在 Ｒｔ△ＯＡＣ 中，由勾 股 定 理 得 ＯＣ２ ＋ ＡＣ２＝ＯＡ２，即 ｘ２ ＋４２ ＝ （ｘ＋２）２，解 得 ｘ＝３．又 ＯＣ 为 △ＡＢＥ 的 中 位 线， 所以 ＢＥ＝２ＯＣ＝６． 所以直角 △ＢＣＥ 的 面 积 为 １２ＣＢ·ＢＥ＝ １２． ５．如 图，在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＣ＝
知ｎ＞ｍ＞０，Ｄ（ｎ，槡ｍ３），所 以 ＣＤ＝ｎ－ｍ，ＡＤ
＝槡ｍ３－槡ｎ３，故ｎ－ｍ＝３ ２槡３，槡ｍ３－槡ｎ３＝
３ ２
，联
立
解得 ｍ ＝ 槡２３，ｎ＝２ 槡３．所 以，点 Ｃ 的 坐 标 为
（槡２３，２）．
２．在 四 边 形 ＡＢＣＤ
中，ＢＣ ∥ ＡＤ，ＣＡ 平 分
∠ＢＣＤ，Ｏ 为 对 角 线 的 交
于 是 可 得 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＤＢＣ ＝
１２６°．
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数学竞赛之窗
３．有位学生忘记写两个三位数间的 乘 号， 得到一个六位数，这个六位数恰好为原来 两 个 三 位 数 的 乘 积 的 ３ 倍，这 个 六 位 数 是
∠ＤＡＣ，所 以
，由 角
平
分
线
定
理
可
得ＡＤ ＡＣ
＝ＣＤＭＭ
＝
２１ ，即ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝
１ ，所 ２
以 ∠ＤＡＣ＝６０°，进
而 可 得 ∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＤ＝３０°．
（下 转 第 ２４ 页 ）
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＝ －３ｘ２ －４ｘｙ－２ｙ２ ＋３ｘ＋２ｙ
＝
－２［ｙ２＋２（ｘ－
１ ２
）ｙ＋
（ｘ－
１ ２
）２］－３ｘ２
＋３ｘ＋２（ｘ－
１ ２
）２
＝
－２（ｙ＋ｘ－
１ ２
）２－ｘ２＋ｘ＋
１ ２
＝
－２（ｙ＋ｘ－
１ ２
）２－
（ｘ－
１ ２
）２＋
３ ４
≤ ３４ ，
所以
Ｍ
＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ
的
最大
值
为３ ４
．
二 、填 空 题 （本 题 满 分 ２８ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
分 ，ｂ
是
－ｔ
的
小
数
部
分
，则２１ｂ－
１ ａ
＝ （ ）．
（Ａ）１２ （Ｂ）槡２３ （Ｃ）１ （Ｄ）槡３
［答］（Ａ）．
∵ ｔ＝ １ ＝２＋槡３而３＜２＋槡３＜４， ２－槡３
∴ ａ＝ｔ－３＝槡３－１
又∵ －ｔ＝－２－槡３，而 －４＜ －２－槡３＜
－３，
∴ ｂ＝ －ｔ－ （－４）＝２－槡３．
题目 （２０１２ 年 全 国 初 中 数 学 联 赛 第二试（８）试 题）已 知 直 角 三 角 形 的 边 长 均 为 整 数 ，周 长 为 ６０，求 它 的 外 接 圆 的 面 积 ．
解 设 Ｒｔ△ＡＢＣ 的 直 角 边 为ａ，ｂ，斜 边 为ｃ，
∠ＢＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝槡５，ＣＤ＝１，对 角 线 的
交点为 Ｍ，则 ＤＭ＝（ ）．
（Ａ）槡２３ （Ｂ）槡３５
（Ｃ）槡２２ （Ｄ）１２
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．
［答］１６７３３４．
设 两 个 三 位 数 分 别 为 和 ｙ，由 题 设 知
１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ
①
由①式 得 ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝ （３ｙ－１０００）
ｘ，故ｙ 是ｘ 的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整
数），代 入 ① 式 得 １０００＋ｔ＝３ｔｘ，所 以 ｘ ＝
１００３０ｔ＋ｔ．因 为 是 三 位 数，所 以 ｘ＝１００３０ｔ＋ｔ≥
∴ ２１ｂ－
１ ａ
＝２（２－１槡３）－槡３１－１＝２＋２槡３
－槡３２＋１＝ ２１ ．
２．三种 图 书 的 单 价 分 别 为 １０ 元、１５ 元 和 ２０元，某 学 校 计 划 恰 好 用 ５００ 元 购 买 上 述 图 书 ３０ 本 ，那 么 不 同 的 购 书 方 案 共 有 （ ）．
（Ａ）９ 种 （Ｂ）１０ 种 （Ｃ）１１种 （Ｄ）１２种 ［答］（Ｃ）． 设购买三种图 书 的 数 量 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，则 ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，１０ａ＋１５ｂ＋２０ｃ＝５００，易 得ｂ＝ ２０－２ａ，ｃ＝１０＋ａ，于是ａ 有１１ 种 可 能 的 取 值 （分别为０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０）．对 于 每 一个ａ 值，对应 地 可 求 出 唯 一 的ｂ 和ｃ，所 以， 不 同 的 购 书 方 案 共 有 １１ 种 ． ３．如 果 一 个 正 整 数 可 以 表 示 为 两 个 连 续
２ａ＋１＝０，ａ＝
－
１ ２
，ｂ＝
－
１ ，所 ２
以 ａｂ＝ ４１ ．
４．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ４ 题 相 同 ．
５．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ５ 题 相 同 ．
６．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ６ 题 相 同 ．
二 、填 空 题 （本 题 满 分 ２８ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）