圆的方程及应用复习课
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情景导入
问题提出： 如图是某个圆拱形桥的示意图。这个圆的圆拱跨度AB=16m，
拱高OP=4m,建造时每间隔3.2m需要用一根支柱支撑，求支柱CF的 高度（精确到0.01m）
思考：如图所示建立直角坐标系，那么求支柱CF的高度，化归为 求一个什么问题？
将几何问题化为代数问题，只要求出圆拱所在的圆的方程，根据F点的 坐标，可知CF的高度.
知识梳理
1.圆的定义、方程 (1)在平面内到_定__点___的距离等于_定__长___的点的轨迹叫做圆； (2)确定一个圆的基本要素是： __圆__心___和__半__径___. (3)圆的标准方程 ①两个条件：圆心(a,b),__半__径__r__； ②标准方程：(x a)2 ( y b)2 r2
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(4)圆的一般方程 ①一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 ②方程表示圆的充要条件为：__D_2+_E_2_-_4_F_＞__0___； ③圆心坐标_(__D_2_,__E2_)_,半径r=__12__D__2 __E_2__4_F___.
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专题一：如何求圆的方程
【方法点睛】 1.求圆的方程的方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写 出方程. (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;
解法二：圆心为中垂线的交点； 则AB的中垂线的方程为：3x-y-1=0 同理得AC得中垂线方程为：x+y-3=0 联立的圆心坐标(1,2),半径r=10 所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100
课后小结
1. 掌握确定圆的几何要素，会找圆心和半径。 2. 掌握圆的标准方程与一般方程的求法。
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【解题反思】1.从例题求解可以看出，确定一个圆的方程，需 要三个独立的条件；要根据题设条件恰当选择圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数. 2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何 性质，简化运算.
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巩固练习
已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个 坐标轴上，则这个圆的方程是__________________.
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②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的 值. 2.确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
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情景回顾 解：如图所示建立直角坐标系,连接BH
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(2)方法二：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：
b
a
6 8
3
,
(a 2)2 (b 4)2 (a 8)2 (b 6)2
a
11 2，b3 2得圆的半径r= (8 11)2 (6 3)2 5 10 ,
2
2
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得圆的方程为：(x 11)2 (y 3)2 125 .
【例1】过点A(6,5)、B(0,1)，并且圆心在直线3x+10y+9=0上 的圆的方程为______________；
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【规范解答】(1)因为圆经过A、B两点，所以圆心在AB的垂直平分
线上，而AB的垂直平分线方程为：3x+2y-15=0,解方程组得:
3x 2y 15 0 3x 10y 9 0
x 7
,
y 3
所以圆心坐标为：(7,-3)
r 72 3 12 65
所以，所求圆的方程为：(x-7)2+(y+3)2=65. 答案：(x-7)2+(y+3)2=65
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【例2】求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点 B(8,6)的圆的方程.
(2)方法一：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂
【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好 落在两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、 (0,-6)， 所以，圆的半径为 r (4 2)2 (0 3)2 13， 圆的方程为：(x-2)2+(y+3)2=13.
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拓展提升
求过三点A(1,12),B(7，10),C(-9，2)的圆的方程 【解题指南】解法一：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 联立方程组解得D=-2，E=-4，F=-95
设圆的半径为R,OH=R-OP=R-4
在OBH中,0H 2 0B2 HB 2
即（, R 4)2 82 R2, 解得，R 10
OH=R-OP=6，得H(0，-6)
圆的方程为： x2 （y 6)2 100 设F(1.6, y), F点在圆上则满足圆的方 程
（y 6)2 100 (1.6)2 97.44 y 3.87 拱高CF约为3.87m.
直平分线方程为：x+y-4=0；
又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方
程为：3x-y-18=0，联立方程组求圆心。
x y 4 0 3x y 18 0
x
11 2
，
y
3 2
得圆的半径r= (8 11)2 (6 3)2 5 10 ,
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(x 11)2 (y 3)2 125 .