S/ m
1. 73 39. 52 8. 94
1. 84 39. 24 9. 03
1. 94 38. 99 9. 11
2. 06 38. 70 9. 20
2. 17 38. 43 9. 29
V 0 = 10m/ s
H/m
0/( )
S/ m
1. 75 40. 81 11. 82
1. 87 40. 59 11. 90
的工作和理论的基础上, 凭借其敏锐的思维, 通过
综合运用波动学、狭义相对论等的基本原理, 一步
步建立起了关于物质波理论的基本公式的过程, 同时, 也很自然地引出了物质波的相速度和群 速
度, 并清晰地阐明了它们对应的物理意义. 由于整
个建立过程中所用的物理知识基本上都是我们在
量子力学之前的教学中介绍过的基本知识, 非 常
( 上接第 5 页)
物质波理论的基本公式为
=
h p
( 12)
3 必要的说明
在介绍完上述的建立过程后, 我们必须要 作 出以下几点说明:
( 1) 虽然德布罗意在解决关于物质波的速度 问题时提出了波包、群速度和相速度的概念, 并得 到了群速度恰好等于粒子的运动速度的结果, 但 有人认 为德布罗 意的这些 解释有点 牵强( 例如, 波包 是要 扩散 的, 这 和粒 子的 集中 存在 相 矛 盾) . 然而我们不必去纠缠此类问题, 重要的关 键 是他关于物质波的思想, 不久物质波的假设和 上
le ct ure , Dec. 12, 1929 ( h tt p: / / en. w ikipedia. org/ w iki/ M at t er_w ave)
( 上接第 8 页)
由表 3 情
形下的最佳出手角和射程非常接近, 有不少组甚至
通俗易懂, 因此如果我们在教学中用短暂的时 间
对这个建立过程作一下介绍的话, 我觉得既可 以
帮助同学理解并掌握物质波的基本假设, 又能 让 他们体会物理学各理论体系之间相互联系、前 后
贯通的关系及综合运用物理学知识的美妙结果.
2 德布罗意物质波公式的建立过程
德布罗意在 1929 年 12 月 12 日的诺贝尔 奖 获奖演讲 电子的波动性 中, 首先回顾了自 1900 年普朗克提出量子论之后 20 多年来物理学所 带 给人们的种种困惑及获得的一系列发展成果, 然 后他对自己提出的物质波思想及物质波公式的建 立过程作了系统的介绍. 他在演讲中指出: 我的 研究始终围绕着这样的思想, 对于物质和辐射( 尤 其是光) , 必须同时引入粒子的概念和波的概念, 即在任何情况下粒子的存在必然伴随着波动. 因 此, 必须首先建立起粒子运动和波动传播之间 的 对应关系 .
相同, 相差最大的也仅有 0. 04 和 0. 02m, 偏差为 1% 和 2% , 可见在对最佳出手角进行分析时可以 忽略出手角对出手高度的影响, 出手高度 可视为 独立变量.
表 3 出手高度不随 出手角而变的条件下, 最佳出手角、出手速率和出手高度间的大小关系
V0= 8. 5m/ s
H/m
0/( )
述基本公式确实得到了一系列实验的证实. ( 2) 上述建立过程中运用了经典的波函数形
式, 而在现有的经过不断完善后建立起来的量子力 学体系中, 物质波的波函数是用复数形式表示的, 如对应上述自由粒子的单色平面物质波波函数为
( x , t) = A e ih( px- Et) 同时, 还要说明物质波是概率波, 它与经典的波、 经典的波包在本质上也是不同的.
根据狭义相对性原理, 粒子在其他任何一 个 惯性系中将做匀速直线运动. 假设另有一个惯 性 系 O x y z ( 称为 S 系) , 在 S 系中粒子以速度 v = c
沿 x 轴方向运动, 根据洛伦兹变换, 在 S 系中观测 者测得的时间 t 与固有时间 t 0的关系为
t0 =
t- x/c 1- 2
生的思维达到更深刻的层面.
参考文献
[ 1] 张三慧. 大学基础物理学( 第二版) 上[ M ] . 北京: 清华大学 出版社, 2007. 4
[ 2] 黄强, 蒋达国. 抛体运动的描述[ J] . 技术物理教学, 2007, 15 ( 2) : 32~ 33
[ 3] 中国大百科全书物理学( I) [ M ] . 北 京: 中 国大百科 全书出 版社, 1987. 636
[ 1] D B Lich tenberg and J G W ills. M axim izng t he range of shot pu t. A m. J. P hy s. 1978, 46, 546~ 9
利给出群速度 U 满足关系式
c U
=
(n )
( 9)
由式( 8) 可得
c U
=
(
2-
2 0
)
=
2-
2=
0
1 n
=
1
( 10)
即波包的群速度为 U= c= v, 恰好等于粒子在 S 系中的运动速度.
在 S 系中, 运动速度为 v 的粒子对应的物质 波具有频率 和相速度 V = c2/ v. 根据量子理论的
1 引言
在一般的量子力学教材中, 如文献[ 1, 2] 等,
关于物质波假设部分一般都是介绍德布罗意在普
朗克与爱因斯坦的光量子论及玻尔的原子理论的
启发下, 通过类比的方法, 提出了实物粒子也具有
波粒二象性, 并直接给出了实物粒子对应的物 质
波的频率、波长与 粒子能量、动量 关系的 基本 公
式, 即
E= h , p= h
=
v c
=
=
2
1-
0 2
( 8)
表明不同频率的波在真空中具有不同的折射 率, 物质波即使在真空中传播也会发生色散. 德布罗
意指出, 对于速度为 v= c 的粒子, 并非具有确定
的 值, 而是处于 + 的限制范围内, 对应的
物质波则是由频率介于 + 的一系列单色波 叠加组成的波包. 波包的传播速度称为群速度, 瑞
基本关系, 即能量与频率的正比关系 E= h 和狭 义相对论的基本关系可得, 在 S 系中, 粒子的能量 为 E= h = mc2( m 为粒子的相对论质量) , 粒子的
动量为
p=
mv =
mc2 c2 / v
=
E V
=
h V
=
h
( 11)
式中的 就是物质波的波长. 因此得到了德布罗意
( 下转第 11 页)
( 4)
因此, 对 S 系中的观测者而言, 粒子对应的物
质波的波动式将为
s in 2
0
1-
2
t-
xc
0
1- 2
( 5)
表明该波的频率为
=
0
( 6)
1- 2
沿 x 轴方向传播的相速度为
V = c = c2
( 7)
v
由上面( 6) 、( 7) 两式可得波在真空中具有的折射
率, 即
n=
c V
=
c c2/ v
( 1)
这样的过渡虽然比较自然也容易被读者接受, 但 对于稍作深入思考的人来说, 物质波的速度将 成 为相当困扰的新问题 ( 笔者就经常被 学生问及) , 即根据物质波的频率 和波长 可以得到物质波
的速度为
u=
=
h h/
=
E p
( 2)
进一步将狭义相对论的动力学关系
E = h = mc2 和 p = mv
4
物理与工程 V ol. 21 No. 3 2011
教学研究
德布罗意物质波公式的建立
许亚娣 ( 上海交通大学物理系, 上海
( 收稿日期: 2010 12 31)
20024 0)
摘要 关键词
本文根据德布罗意在诺贝尔奖获奖典礼上的演讲稿 电子的波动性 的内容, 系统介绍 了德布罗意通过综合运用波动学、狭义相对论等的基本原理, 一步步建立起了关于物 质波理论的基本公式的过程, 同时自然地引出了物质波的相速度和群速度, 并清晰地 阐明了它们对应的物理意义. 德布罗意物质波; 相速度; 群速度; 波长; 动量
41. 24 2. 22 16. 76
V 0 = 14m/ s 0/ ( ) H / m S/ m 42. 68 1. 76 21. 69 42. 54 1. 87 21. 80 42. 40 1. 99 21. 90 42. 27 2. 11 22. 00 42. 13 2. 22 22. 11
参考文献
在此只介绍最简单的情形 自由运动粒子
的物质波. 首先在自由运动的粒子上建立一个固有坐标
系 O x 0 y 0 z 0 ( 称为 S0 系) , 在此坐标系中与粒子相 应的物质波也应是 固定 的, 即波在任何一点的 相位是 相同 的, 其 波动 式 ( 即振 动式) 可表 示 为 sin2 0 ( t0 - 0 ) , 其中 t0 是粒子运动的固有时; 0 是一个常数.
11
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5 结论
由于运用不同 的坐标系, 物理量的表 示形式 各不相同, 注意到不同坐标表示起点上的差别, 注 意到运算形式上的差别, 识读物理量的不同表 示 形式并理解所表达的物理意义, 能帮助学生理 解 不同坐标系的特征意义和掌握在何种情形下采用 何种坐标系, 不仅使学生的思维得到扩展, 也使学
1. 98 40. 34 12. 02
2. 10 40. 13 12. 10
2. 21 39. 95 12. 18
V 0 = 12m/ s
0/ ( ) H/ m
S/ m
41. 95 1. 76 16. 35
41. 76 1. 87 16. 46
41. 59 1. 99 16. 56