第十二章 机械振动和机械波知识网络：第1单元 机械振动一、基本概念1、机械振动——物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动2．回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，使物体返回平衡位置的力注意：①恢复力不一定是物体所受的合力，例单摆 ③回复力的意义是指向平衡位置方向上的合力 ④恢复力是根据效果命名的3．平衡位置：恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置。

例如单摆。

4．位移：是离开平衡位置的位移5．简谐运动——物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F = -kxF=-kx 是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

6．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱，无正负之分。

7．周期和频率：表示振动快慢的物理量。

完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定，所以叫固有周期和频率。

任何简谐运动都有共同的周期公式：km T π2=（其中m 是振动物体的质量，k 是回复力系数，即简谐运动的判定式F = -kx 中的比例系数，对于弹簧振子k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

二、典型的简谐运动 1．弹簧振子（1） 说明回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）①回复力指向平衡位置。

②位移从平衡位置开始。

（2）周期km T π2=，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是km T π2=。

周期：gL T π2=机械简谐物理量：振幅、周期、运动简谐运动阻尼振动 无阻尼受力回复力：F= -弹簧振子：F= - 单摆：x L mgF -= 受迫共在介质中的传播机 形成和传播类横波描述方波的图象 波的公式：vT =λx=vt 特声波，超声波及其应波的叠加 干涉 衍射多普勒效应实这个结论可以直接使用。

（4）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

证明：如图所示，设振子的平衡位置为O ，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为0x ，根据胡克定律及平衡条件有00mg kx -= ①当振子向下偏离平衡位置为x 时，回复力（即合外力）为0()F mg k x x =-+回 ②将①代人②得：F kx =-回，可见，重物振动时受力符合简谐运动的条件．【例1】 如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。

（1）最大振幅A 是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力F m 是多大？解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F - mg =ma ，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma ，越往上弹力越小。

平衡位置和振动的振幅大小无关。

因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。

极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。

这时弹簧恰好为原长。

（1）最大振幅应满足kA=mg ， A =kmg（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：F m -mg=mg ，F m =2mg 【例2】弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动．B 、C 相距20 cm ．某时刻振子处于B 点．经过0.5 s ，振子首次到达C 点．求：（1）振动的周期和频率； （f ＝1Hz ） （2）振子在5 s 内通过的路程及位移大小；（10cm ．）（3）振子在B 点的加速度大小跟它距O 点4 cm 处P 点的加速度大小的比值（5：2） 【例3】一弹簧振子做简谐运动．周期为T （ D ）A ．若t 时刻和（t +△t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T /2的整数倍D ．若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t 一定等于T 的整数倍C ．若△t ＝T ／2，则在t 时刻和（t －△t ）时刻弹簧的长度一定相等D ．若△t ＝T ，则在t 时刻和（t －△t ）时刻振子运动的加速度一定相同2．单摆。

在一不可伸长、忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆。

⑴单摆的特点：○1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○2单摆振动可看作简谐运动的条件：α＜10℃。

○3单摆的等时性（伽利略），在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ④单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供⑵ 周期公式：glT π2= （惠更斯） 半径方向：rv m mg T 2cos =-θ向心力改变速度方向 切线方向：回复力＝m g sin θ 改变速度大小若θ角很小，则有 sin θ ＝ tan θ ＝ x / L,而且回复力指向平衡位置，与位移方向相反，所以对于回复力F ，有kx x Lmg L x mgF === k 是常数 ⑶单摆周期公式的应用x1、 测量当地的重力加速度测定重力加速度g,g=224TLπ （l 为等效摆长，是悬点到球心的距离。

）2、 摆钟（振动周期是2秒的单摆叫秒摆）3、惠更斯在1656年利用等时性发明了带摆的计时器（4）摆钟问题。

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n 与频率f 成正比（n 可以是分钟数，也可以是秒数、小时数…），再由频率公式可以得到：ll g f n 121∝=∝π(5)另：意大利的伽利略首先发现等时性，即在角度很小时，单摆的周期与振幅无关。

荷兰的惠更斯确立了单摆的周期公式，周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅和摆球的质量无关例4：三根长度相等都为L 的细线一端系于C 点，另两端固定于天花板上相距为L 的A 、B 两点，剩下的一端系一小球。

当小球垂直于纸面振动时，其周期为 ；当小球左右摆动时，其周期为 ； 答案：gL g Lππ2)231(2；+例5：如图，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球，将小球从O 点正下方l/4处以一定的初速度水平向右抛出，经一定的时间，绳被拉直。

以后小球将以O 为圆心在竖直平面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角。

求：⑴小球水平抛出的初速度V 0⑵小球摆到最低点时，拉力T （答案：23gl；2mg ） 【例6】 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。

用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。

由此图线提供的信息做出下列判断：①t ＝0．2s 时刻摆球正经过最低点；②t ＝1．1s 时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T ＝0．6s 。

上述判断中正确的是A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。

当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。

因此①②正确。

从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。

在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T ＝1．2s 。

因此答案③④错误。

本题应选C 。

三、简谐运动的图象 ⑴图象的描绘2.12.01.9 1.80 0.4 0.8 1.21.6 F/N t /sB A Cx t1、 描点2 实验模拟法⑵振动图象的研究方法——把实际振动和图象对应起来 可以从图像中得到以下信息： ①直接读出振幅（注意单位） ②直接读出周期③确定某一时刻物体的位移④判定任一时刻运动物体的速度方向（最大位移处无方向）和加速度方向 ⑤判定某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变化情况 ⑥计算一段时间内的路程：A TtS 4⋅=⑶振动图象的应用任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成【例7】 劲度系数为20N ／cm 的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A 点对应的时刻（B ．）A ． 振子所受的弹力大小为0．5N ，方向指向x 轴的负方向B ．振子的速度方向指向x 轴的正方向C ． 在0～4s 内振子作了1．75次全振动D 。

在0～4s 内振子通过的路程为0．35cm ，位移为0【例8】 摆长为L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t =0），当振动至 gLt 23π=时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（ D ）例9．如图所示，一块质量为2 kg 、涂有碳黑的玻璃板，在拉力F 的作用下竖直向上做匀变速直线运动．一个频率为5 Hz 的振动方向为水平且固定的振针，在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得OA =1 cm ，OB =4cm ，OC =9 cm ．求拉力F 的大小． （不计一切摩擦阻力，取g =10 m/s 2）解：OA =1 cm AB =3 cm BC =5 cm因为：T OA =T AB =T BC =T /2=0.1 s 根据:Δs =aT 2a =22TAB BC T s -=∆=2 m/s 2F -mg =ma 得：F =mg +ma =24 N四、受迫振动与共振 （1）振动能量 = 动能 + 势能 = 最大位移的势能 = 平衡位置的动能由振幅决定，与周期和频率无关 （2）阻尼振动和无阻尼振动1、阻尼振动 存在阻力做负功，能量减小，振幅减小（减幅振动）2. 无阻尼振动(等幅振动)在振动中,为保持振幅不变(能量不变)，应及时地补充能量,使A 不变 （3）受迫振动1.得到持续的,等幅振动的最简单的办法是用周期性的外力(驱动力)作用于物体,物体在驱动力作用下的振动,叫受迫振动.2.物体做受迫振动的频率由驱动力决定,等于驱动力频率,而与固有频率无关(奴隶,奴隶主)如：钟摆 , 秋千（4）共振——在受迫振动中,驱动力的频率和物体的固有频率相等时,振幅最大B（5）、共振的防止和应用（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……（2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……偏心轮共振筛【例10】把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。

不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。