高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构:二、重点知识回顾1.数列的概念及表示方法(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.(2)表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.(3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列.(4)n a 与n S 的关系:11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥. 2.等差数列和等比数列的比较(1)定义:从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列;从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列. (2)递推公式:110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ,·,,.(3)通项公式:111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ,,.(4)性质等差数列的主要性质:①单调性:0d ≥时为递增数列,0d ≤时为递减数列,0d =时为常数列.②若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ,,,.特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=.③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ,.④232k k k k k S S S S S --,,,…成等差数列.等比数列的主要性质:①单调性:当1001a q <⎧⎨<<⎩,或101a q >⎧⎨>⎩时,为递增数列;当101a q <⎧⎨>⎩,,,或1001a q >⎧⎨<<⎩时,为递减数列;当0q <时,为摆动数列;当1q =时,为常数列.②若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··,,,.特别地,若2m n p +=,则2m n pa a a =·.③(0)n m nm a q m n q a -*=∈≠N ,,.④232k k k k kS S S S S --,,,…,当1q ≠-时为等比数列;当1q =-时,若k 为偶数,不是等比数列.若k 为奇数,是公比为1-的等比数列. 三、考点剖析考点一:等差、等比数列的概念与性质 例1. (2008深圳模拟)已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求数列.|}{|n n T n a 项和的前解:(1)当111112,1211=-⨯===S a n 时;、 当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时,.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、(2)令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ΛΛ时;当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=>ΛΛ时na a a a a a ----+++=ΛΛ87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n综上,⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n 点评:本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系,特别要注意n =1时情况,在解题时经常会忘记。
第二问要分情况讨论,体现了分类讨论的数学思想. 例2、(2008广东双合中学)已知等差数列}{n a 的前n 项和为nS ,且35a =,15225S =. 数列}{n b 是等比数列,32325,128b a a b b =+=(其中1,2,3,n =…).(I )求数列}{n a 和{}n b 的通项公式;(II )记,{}n n n n nc a b c n T =求数列前项和.解:(I )公差为d ,则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a 12,2,11-=⎩⎨⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….设等比数列}{n b 的公比为q , ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,82333q b q b b 则 .2,83==∴q bn n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….(II ),2)12(n n n c ⋅-=Θ2323252(21)2,n n T n ∴=+⋅+⋅++-⋅L.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T Λ作差:115432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T Λ3112(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅ 1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)….点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识,第二问,求前n 项和的解法,要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子,体现了数学的转化思想。
考点二:求数列的通项与求和例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n 行(3≥n )从左向右的第3个数为解:前n -1 行共有正整数1+2+…+(n -1)个,即22n n -个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n-+3个,即为262n n -+.点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
例4.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”,则(5)f = ;()(1)f n f n --=____解:第1个图个数:1 第2个图个数:1+3+1第3个图个数:1+3+5+3+1第4个图个数:1+3+5+7+5+3+1第5个图个数:1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, 所以,f (5)=41f(2)-f(1)=4 ,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(5)-f(4)=16 ()(1)f n f n --=4(1)n -点评:由特殊到一般,考查逻辑归纳能力,分析问题和解决问题的能力,本题的第二问是一个递推关系式,有时候求数列的通项公式,可以转化递推公式来求解,体现了转化与化归的数学思想。
考点三:数列与不等式的联系12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………例5.(2009届高三湖南益阳)已知等比数列{}n a 的首项为311=a ,公比q 满足10≠>q q 且。
又已知1a ,35a ,59a 成等差数列。
(1)求数列{}n a 的通项(2)令na nb 13log =,求证:对于任意n N *∈,都有122311111 (1)2n n b b b b b b +≤+++p(1)解:∵315259a a a ⋅=+ ∴24111109a q a a q =+ ∴4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴13q =∴113n nn a a q --==(2)证明:∵133log log 3na n nb n === , 11111(1)1n n b b n n n n +==-++∴12231111111111...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-++L 122311111...12n n b b b b b b +∴≤+++p点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(2)问,采用裂项相消法法,求出数列之和,由n 的范围证出不等式。
例6、(2008辽宁理) 在数列||n a ,||n b 中,a1=2,b1=4,且1n n n a b a +,,成等差数列,11nn n b a b ++,,成等比数列(n ∈*N )(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测||n a ,||n b 的通项公式,并证明你的结论;(Ⅱ)证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++….解:(Ⅰ)由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=,由此可得2233446912162025a b a b a b ======,,,,,.猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+,.用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立. ②假设当n=k 时,结论成立,即2(1)(1)k k a k k b k =+=+,,那么当n=k+1时,22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+,.所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②,可知2(1)(1)n n a n n b n =++,对一切正整数都成立.(Ⅱ)11115612a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n+=++>+.故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭…… 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭… 111111562216412n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭综上,原不等式成立.点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.例7. (2008安徽理)设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数(Ⅰ)证明:[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈;(Ⅱ)设103c <<,证明:1*1(3),n n a c n N -≥-∈;(Ⅲ)设103c <<,证明:222*1221,13n a a a n n N c ++>+-∈-L解: (1) 必要性 :120,1a a c==-∵∴ ,又2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ,即[0,1]c ∈充分性 :设 [0,1]c ∈,对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈当1n =时,10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=,且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴,由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立(2) 设103c <<,当1n =时,10a =,结论成立当2n ≥ 时,3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由(1)知1[0,1]n a -∈,所以21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=L ∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设103c <<,当1n =时,2120213a c =>--,结论成立当2n ≥时,由(2)知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++L L L ∴2(1(3))2111313n c n n c c -=+->+--- 点评:本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意,加强训练。