非线性有限元方程组的解法
不论材料非线性问题还是几何非线性问题，其有限元 方程都是非线性的：
( u ) P( u ) R 0
R---外部载荷的等效节点力矢量； P---内力的等效节点力矢量。 在全量方法的位移有限元解法中，u是结构的位移矢量， 在增量方法的位移有限元解法中， u是结构的位移增 量矢量。
un un1 u n
范数的定义可取 或
(3) (4)
un max{ un }
un [{ un }t { un } ] 1/ 2
于是收敛判据可取为： un un （位移收敛判据） 在这里注意到，对于非线性方程（1），将 un 代入一般不是严格满足的，即
(5) (6)
现在来求相应于载荷因子为1 n 时的解。 设 un1 un u 为其解， n 于是有 ( un u,n ) P( un u ) ( n )R 0 (4)
将 ( un u,n ) 在 un , n 处泰勒展开得
非线性有限元方程组的解法
• 直接迭代法 • 牛顿法 • 增量法
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
固体力学中非线性有限元方程通常可以写成： 其中
Ku R 0 K K( u )
u1 ( K1 )1 R
(1 )
设初始近似解为 u u0 ，那么可得一个近似矩阵 K1 K ( u0 ) 于是由（1）可得到一个改进的近似解：
( K T ( un , n )) ( n 1 R P ( un ))
1
(9)
(10 )
( un ) K ( un )un R 0
（失衡力收敛判据）
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为： ( un ) R
(8 )
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为：
( u ) P( u ) R 0
(1 )
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
K n K ( un )
un1 ( K n ) | R
1
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计 算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n 次和第 n+1 的解分别为 u un 、 un 1 ，则“偏差”为： u
现在设
u un
是方程（1）的第 n 次近似解。一般地，这时
( un ) P( un ) R 0
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力）。设修正值为 此时新的近似解为：
(2)
un
(3)
，
u un1 u n un
将（3）代入（1）中并在 u un 附近将 ( un un ) 泰勒（Taylor)展开： (4) ( un un ) ( un ) un un (5) n 若记 K K (u )
T T n
可得 n 1 n 1 从而可解出修正量 un 为 un ( K T ) ( un ) ( K T ) ( R P( un ))
0 ( un un ) ( un ) K T un
n
un
(6)
(7)
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
这样，牛顿法的迭代公式：
( un ,n ) P( un ) n R 0
( un u ,n ) ( un ,n )
un un n
(5)
非线性有限元方程组的解法（增量法）
若记作：
K T ( un ,n )
考虑到
R ，于是方程（5）可近似为 n K T ( un ,n )u R 0
un ( K T n )1 ( un ) ( K T n )1( R P( un ))
K T K T ( un )
n
un
(8)
un1 u n un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。 •在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限 元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0 (1 ) (2) 用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1 相应于不同的载荷。 若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 (3)
un
(6)
(7) (8)
或
u ( K T ( un ,n ))1 R
若考虑到相应于载荷因子 n 的解 u un 并不是精确解，亦即：
( un ,n ) P( un ) n R 0
于是方程的解为
u ( K T ( un , n ))1( R ( un , n ))
( u ) K ( u )u R 0
非线性有限元方程组的解法
• 对于线弹性小变形问题，其有限元方程组是线性的
Ku R 0
• 其解答利用直接方法很容易得到 u K 1R • 但是对于非线性有限元方程组则不能利用直接方法 得到其解答。 • 一般地说，不能期望得到非线性方程组的精确界。 • 通常利用各种数值方法，用一系列的线性方程组去 逼近非线性方程组的解。