例2:
练 习 ： ① 求 证 ：当
问题 ：当 ②求 证：当
“一正二定三等”
x 0时， x
？
16
x
的 最 小 值 是 8；
x 为何值时，取到最小值？ x 0．时 ， 16 x x
的 最 大 值 是 － 8。
1 ③已知 0 x ， 求 y x (1 - 2 x) 的 最 大 值 。 2
a b ab 2
(a 0, b 0)
学习目标
•会用基本不等式证明一些简单不等式; •会用基本不等式解决简单的最值问题. (重点)
D
一、基本不等式回顾
A a
ab
Cb B
D
(当且仅当 a＝b 时取“=”号) (均值不等式)
如果a、b R,那么a2 + b2 2ab (当且 仅当a＝b时取“=”号)
问 题 ：怎 样 构 造 和 为 定 值 ？
例3:
1 已知x＞1，求 x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值。 x -1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
构造积为定值
1 ∴x＋ x -1
1 ＝（x－1）＋ ＋1 ( x - 1)
≥2
1 当且仅当x－1＝ x - 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
ab 2 ab ( ) £ »a b 2 2
¡ ±£ º Õ ý Ê ý £ ¬ Î ª ¶ ¨Ö µ £ ¬ ³ É Á ¢ ¡ £
ab
和定积最大, 积定和最小
公式的拓展
a b 2ab(a, b R)
2 2
2(a b ) (a b)
2 2
2
(a b) 4ab
ab ab 如果a, b是正数, 那么 2
公式运用
Õ ý Ó Ã ¡ ¢ Ä æ Ó Ã ¡ ¢ ä ±Ð Î Ó Ã £ º
ab ab 2
¡ °Õ ý Õ ý £ º ¶ ¨£ º µ È £ º ¡ ¢ ¶ ¨¡ ¢ µ È ¼ ´ Ö ×Ä · Î ª ¼ ´ º Í » ò » ý ¡ °£ ½ ¡ ±º Å
2
例１、判断下列推理是否正确：
£ ¨2£ © È ô xy 2 , x 0 , y 0 £ ¬ Ô ò y 2x y x y µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ Î ª 8¡ £
2 2
2 2 2 2 y 2 2 xy x y 4 x y 4 2xy 证: =8
2 2 y 2 x y x y ¡ à µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ Î ª 8
问题：是否积或和为定值时， 就一定可以求最值？
练习
等号能否成立
)
下列函数中，最小值为4的是( C
4 (A) y x x 4 0 x (B) y sinx sinx (C)y 4e x e -x (D)y log 3 x log x 30 x 1
18 4.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是______.
课堂小结 1.公式的正用、逆用和变形用； 2.公式条件：正、定、等； 3.构造“和定”或“积定”求最值。 4.应用题:弄清题意,建立模型
2
2 1 1 a b

ab

ab a b 2 2
2
2
当且仅当a=b时“=”成立
(a, b R )

二、应用：证不等式
1.已知
a 0, b 0, c 0 且
abc 2
求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8 2
．
三、应用：求最大（小）值
例１、判断下列推理是否正确：
2 2 £ ¨1£ © Ç ó y sin x µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ ¡ £ 2 sin x
¡ ß sin x 0 £ ¬ ¡ à sin x 0 £ ¬
2 2
．
？
2 2 2 y sin x 2 sin x 2 2 2 2 sin x sin x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 ¡ à y sin x µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ Ê Ç 2¡ £2 2 sin x
1 ( x - 1) ＋1＝3 ( x - 1)
练习
5 1.已知x> ,则函数y= 4 5 2.已知x< ,则函数y= 4
构造积为定值
1 5 的最小值是______. 4 x - 2 4x -5 1 1 的最大值是______. 4 x - 2 4x -5
5 2 2 3.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. x y