33、万有引力（1）天体的质量、密度和重力加速度的计算
1．(多选) “雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2；已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( ) A ．地球的密度为3πG 1
GT 2(G 2－G 1)
B ．地球的密度为3πG 2
GT 2(G 2－G 1)
C ．当地球的自转周期为G 2－G 1
G 2T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为
G 2－G 1
G 1
T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 2．(多选) 假设地球可视为质量分布均匀的球体．已知地球表面重力加速度的大小在两极为g 0，在赤道为g ，地球的自转周期为T ，引力常量为G ，则( ) A ．地球的半径R ＝(g 0－g )T 2
4π2
B ．地球的半径R ＝g 0T 2
4π
2
C ．假如地球自转周期T 增大，那么两极处重力加速度g 0值不变
D ．假如地球自转周期T 增大，那么赤道处重力加速度g 值减小
3．(多选) 一探测器探测某星球表面时做了两次测量．探测器先在近星轨道上做圆周运动测出运行周期为T ；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度h 与抛出速度v 的二次方的关系，如图1所示，图中a 、b 已知，引力常量为G ，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得( )
图1
A ．该星球表面的重力加速度为2b
a
B ．该星球的半径为bT 2
8a π2
C ．该星球的密度为3π
GT 2
D ．该星球的第一宇宙速度为4aT
πb
4． 美国国家航天局(NASA)曾宣布在太阳系外发现“类地”行星Kepler －186f.假设宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测，该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放一个小球(引力视为恒力)，落地时间为t .已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A ．该行星的第一宇宙速度为πR
T
B ．该行星的平均密度为3h
2πRGt 2
C ．宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期不大于πt
2R h
D ．如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为
3
hT 2R 2
2π2t 2
5．(多选) 科学家们通过研究发现，地球的自转周期在逐渐增大，假设若干年后，地球自转的周期为现在的k 倍(k >1)，地球的质量、半径均不变，则下列说法正确的是( ) A ．相同质量的物体，在地球赤道上受到的重力比现在的大 B ．相同质量的物体，在地球赤道上受到的重力比现在的小 C ．地球同步卫星的轨道半径为现在的k 2
3倍
D ．地球同步卫星的轨道半径为现在的k 1
2
倍
6． 宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球的质量大约是地球质量的( ) A ．0.5倍 B ．2倍 C ．4倍 D ．8倍
7．(多选) “嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．“玉兔号”在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R 1、R 2；地球表面重力加速度为g .则( )
A ．月球表面的重力加速度为G 1g G 2
B ．月球与地球的质量之比为 G 2R 22
G 1R 12
C ．月球与地球的第一宇宙速度之比为
G 1R 1
G 2R 2
D ．“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2π
G 1R 2
G 2g
8． 探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H ，环绕的周期为T 及环绕的线速度为v ，引力常量为G ，由此可得出( ) A ．火星的半径为v T
2π
B ．火星表面的重力加速度为2πT v 3
(v T －2πH )2
C ．火星的质量为T v 2
2πG
D ．火星的第一宇宙速度为
4π2v 2T
G (v T －πH )3
9．(多选) 最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周．仅利用以上两个数据可以求出的量有( )
A ．恒量质量与太阳质量之比
B ．恒星密度与太阳密度之比
C ．行星质量与地球质量之比
D ．行星运行速度与地球公转速度之比
10．(多选) 宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在可称体重的台秤上，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g 0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，F N 表示人对台秤的压力，则关于g 0、F N 下面正确的是( ) A ．g 0＝0 B ．g 0＝R 2
r 2g
C ．F N ＝0
D ．F N ＝mg
答案精析
1．BC [设地球的质量为M ，半径为R ，被测物体的质量为m . 经过赤道时：G Mm R 2＝G 1＋mR 4π2
T
2
在南极附近时：G 2＝G Mm R 2，地球的体积为V ＝4
3
πR 3
地球的密度为ρ＝M V ，解得：ρ＝3πG 2
GT 2(G 2－G 1)，故A 错误，B 正确；当放在地球赤道地面上
的物体不再对地面有压力时：G 2＝mR ·4π2
T ′2，所以：T ′＝
G 2－G 1
G 2
T ，故C 正确，D 错误．] 2．AC [处在地球两极处的物体：mg 0＝GMm
R 2①
在地球赤道上的物体：GMm R 2－mg ＝m 4π2
T 2R ②
联立①②得：R ＝(g 0－g )T 2
4π2
故A 正确，B 错误；由②式知，假如地球自转周期T 增大，赤道处重力加速度g 值增大，故D 错误；由①式知，两极处的重力加速度与地球自转周期无关，故C 正确．] 3．BC
4．B [根据自由落体运动规律求得该星球表面的重力加速度g ＝2h
t 2
则该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝
2h
t 2
R ，故A 错误； 根据万有引力提供做圆周运动的向心力， 有：G Mm r 2＝mr 4π2
T
2可得宇宙飞船的周期T ＝
4π2r 3
GM
，可知轨道的半径越小，周期越小，宇宙飞船的最小轨道半径为R ，则周期最小值为T min ＝
4π2R 3
GM
＝ 4π2R 3
gR 2
＝ 4π2R
2h t 2
＝πt
2R
h
，故C 错误． 由G Mm R 2＝mg ＝m 2h t 2有：M ＝2hR 2Gt
2，
所以星球的密度ρ＝M V ＝2hR 2
Gt 243πR 3＝3h
2Gt 2R π
，故B 正确；
同步卫星的周期与星球的自转周期相同， 故有：G Mm (R ＋H )2
＝m (R ＋H )4π2
T 2，代入数据得：H ＝
3
hT 2R 2
2π2t 2
－R ，故D 错误．] 5．AC [在地球赤道处，物体受到的万有引力与重力之差提供向心力，则有：GMm
R 2－mg ＝
m 4π2
T
2R ，由于地球的质量、半径均不变，当周期T 增大时，地球赤道上的物体受到的重力增大，故A 正确，B 错误；对同步卫星，根据引力提供向心力，则有：GMm r 2＝m 4π2
T
2r ，当周期
T 增大到k 倍时，则同步卫星的轨道半径为现在的23
k 倍，故C 正确，D 错误．] 6．D
7．BD [“玉兔号”的质量m ＝G 1g ，月球表面的重力加速度g 月＝G 2m ＝G 2g
G 1，故A 错误；根
据mg ＝G Mm R 2得M ＝gR 2
G ，则M 月M 地＝g 月R 月2g 地R 地2＝G 2R 22G 1R 12，故B 正确；根据第一宇宙速度v ＝
GM
R
＝gR ，则v 月v 地＝g 月R 月
g 地R 地
＝
G 2R 2
G 1R 1
，故C 错误；根据T ＝4π2R 3
GM
，又GM ＝gR 2，所以“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动的周期T ＝4π2R 月3
g 月R 月2
＝2πR 月
g 月
＝2π G 1R 2
G 2g
，故D 正确．]
8．B [飞船在离火星表面高度为H 处做匀速圆周运动，轨道半径为R ＋H ，根据：v ＝2π(R ＋H )T ，得R ＋H ＝v T 2π，故A 错误；根据万有引力提供向心力，有：GMm (R ＋H )2＝m ·4π2
T 2(R ＋H )，得火星的质量为：M ＝4π2(R ＋H )3GT 2
＝v 3T 2πG ，在火星的表面有：mg ＝GMm R 2，所以：g ＝GM R 2＝2πT v 3
(v T －2πH )2
，故B 正确，C 错误；火星的第一宇宙速度为：v ＝GM
R
＝gR ＝2πT v 3(v T －2πH )2(v T
2π－H )＝
T v 3
v T －2πH
，故D 错误．]
9．AD 10.BC。