历年高考数学真题精选（按考点分类）专题37 双曲线（学生版）一．选择题（共24小题）1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．3．（2019•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过C 的左焦点且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为( )A 1B ．2C D4．（2019•新课标Ⅲ）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为( ) A ．32B ．52C ．72D ．925．（2019•新课标Ⅲ）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )A B C ．D ．6．（2019•新课标Ⅱ）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )A B C ．2 D7．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=8．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=9．（2018•新课标Ⅲ）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>．0)b >的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1|||PF OP =，则C 的离心率为( )AB ．2C D10．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN ∆为直角三角形，则||(MN = )A ．32B ．3C ．D ．411．（2017•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，则( ) A ．||bk a<B ．||b k a>C ．||c k a<D ．||c k a>12．（2017•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=13．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为( ) A ．13B ．12C ．23D ．3214．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为( )A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=15．（2017•新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A ．，)+∞B ．，2)C ．D ．(1,2)16．（2016•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为( )A B ．32C D ．217．（2016•浙江）已知椭圆2212:1(1)x C y m m+=>与双曲线2222:1(0)x C y n n -=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <18．（2016•天津）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A ．223144x y -=B ．224143x y -=C ．22144x y -=D ．221412x y -=19．（2015•重庆）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．12±B ．2C ．1±D ．20．（2015•新课标Ⅰ）已知0(M x ，0)y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，1F ，2F 是C 的左、右两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是( )A ．(B ．(C ．(D ．( 21．（2015•新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )A B ．2 C D22．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为( )A B C ．4D 23．（2014•湖北）设a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221x y cos sin θθ-=的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．324．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab =，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94D ．3二．填空题（共6小题）25．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．26．（2013•天津）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．27．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ．28．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为 ．29．（2016•浙江）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且△12F PF 为锐角三角形，则12||||PF PF +的取值范围是 ．30．（2016•北京）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题37 双曲线（教师版）一．选择题（共24小题）1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为( ) A ．2sin40︒ B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130︒，得tan130tan50ba -=︒=-︒，则sin50tan50cos50b a ︒=︒=︒，∴2222222222501115050b c a c sin a a a cos cos -︒==-==-︒︒，得22150e cos =︒，1cos50e ∴=︒． 2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．【答案】A【解析】双曲线两焦点间的距离为4，2c ∴=，当焦点在x 轴上时，可得：224()(3)m n m n =++-，解得：21m =，方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，22()(3)0m n m n ∴+->，可得：(1)(3)0n n +->， 解得：13n -<<，即n 的取值范围是：(1,3)-．当焦点在y 轴上时，可得：224()(3)m n m n -=++-，解得：21m =-，无解．3．（2019•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过C 的左焦点且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为( )A 1B ．2C D【答案】A【解析】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，112||||F M F F ∴=，∴22b c a=， 222c a ac ∴-=， 2210e e ∴--=， 21e ∴=±，1e >， 21e ∴=+4．（2019•新课标Ⅲ）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为( ) A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则223c a b =+， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=． 联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得214(P 5)3．∴1553232OPF S ∆=⨯⨯=．5．（2019•新课标Ⅲ）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( ) A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】双曲线22:142x y C -=的右焦点为(6F ，0)，渐近线方程为：22y x =±，不妨P在第一象限，可得2tan 2POF ∠=，6(2P ，3)2， 所以PFO ∆的面积为：13326224⨯⨯=． 6．（2019•新课标Ⅱ）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A 【解析】如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=， 又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=． 把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c=，再由||||PQ OF =，得2ab c c=，即22244()a c a c -=，22e ∴=，解得2e =7．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 by x a=，即0bx ay -=，(,0)F c ， AC CD ⊥，BD CD ⊥，FE CD ⊥，ACDB 是梯形，F 是AB 的中点，1232d d EF +==， 22bc EF b a b==+，所以3b =，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，可得2ca=，可得：2224a b a +=，解得3a =．则双曲线的方程为：22139x y -=．故选：A ．8．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 by x a=，即0bx ay -=，(,0)F c ， AC CD ⊥，BD CD ⊥，FE CD ⊥，ACDB 是梯形，F 是AB 的中点，1232d d EF +==， 22bc EF b a b==+，所以3b =，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，可得2ca=，可得：2224a b a +=，解得3a =．则双曲线的方程为：22139x y -=．9．（2018•新课标Ⅲ）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>．0)b >的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1||6|PF OP =，则C 的离心率为( ) A 5 B ．2C 3D 2【答案】C【解析】双曲线2222:1(0x y C a a b -=>．0)b >的一条渐近线方程为by x a=，∴点2F 到渐近线的距离22d b a b==+，即2||PF b =，222222||||||OP OF PF c b a ∴-=-=，2cos bPF O c∠=，1||6|PF OP =，1||6PF a ∴=，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||PF PF F F PF F F COS PF O =+-∠，2222222264224343()ba b c b c c b c c a c∴=+-⨯⨯⨯=-=--，即223a c =，c =，ce a∴=． 10．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN ∆为直角三角形，则||(MN = ) A ．32B ．3 C．D ．4【答案】B【解析】双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60︒，不妨设过(2,0)F的直线为：2)y x =-，则2)y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得3(2M，，2)y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：N，则||3MN =． 11．（2017•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，则( ) A ．||bk a< B ．||b k a>C ．||c k a<D ．||c k a>【答案】B【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，且直线经过右焦点F ，可得||bk a>12．（2017•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】设双曲线的左焦点(,0)F c -，离心率ce a==，c =， 则双曲线为等轴双曲线，即a b =，双曲线的渐近线方程为by x x a=±=±，则经过F 和(0,4)P 两点的直线的斜率4040k c c-==+， 则41c=，4c =，则22a b ==，∴双曲线的标准方程：22188x y -=13．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为( ) A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D【解析】由双曲线22:13y C x -=的右焦点(2,0)F ，PF 与x 轴垂直，设(2,)y ，0y >，则3y =， 则(2,3)P ，AP PF ∴⊥，则||1AP =，||3PF =，APF ∴∆的面积13||||22S AP PF =⨯⨯=，同理当0y <时，则APF ∆的面积32S =14．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为( )A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】椭圆221123x y +=的焦点坐标(3,0)±，则双曲线的焦点坐标为(3,0)±，可得3c =，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为5y ，可得5b a =22254c a a -=，可得32c a =，解得2a =，5b =所求的双曲线方程为：22145x y -=．15．（2017•新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A．，)+∞ B．，2) C． D ．(1,2)【答案】C【解析】1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率为：c a ==． 16．（2016•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为( )AB ．32CD ．2【答案】A【解析】由题意，M 为双曲线左支上的点，则21||b MF a=，2||MF =，211sin 3MF F ∴∠=，∴213b =，可得：4222b a c =2ac =，又222c a b =+，20e -=，1e >，解得e =17．（2016•浙江）已知椭圆2212:1(1)x C y m m+=>与双曲线2222:1(0)x C y n n -=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【答案】A【解析】由题意可得2211m n -=+，即222m n =+， 又1m >，0n >，则m n >，由22222212222211112m n n n e e m n n n -+++==+4242212n n n n ++=+421112n n =+>+，则121e e >． 18．（2016•天津）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A ．223144x y -=B ．224143x y -=C ．22144x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为224x y +=，双曲线的两条渐近线方程为2by x =±，设(,)2bA x x ，则四边形ABCD 的面积为2b ，22x bx b ∴=，1x ∴=±将(1,)2b A 代入224x y +=，可得2144b +=，212b ∴=，∴双曲线的方程为221412x y -=19．（2015•重庆）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．12±B． C ．1± D．【答案】C【解析】由题意，1(,0)A a -，2(,0)A a ，2(,)b B c a ，2(,)b C c a-，12A B A C ⊥，∴221b b a a c a c a-=-+-，a b ∴=，∴双曲线的渐近线的斜率为1±． 20．（2015•新课标Ⅰ）已知0(M x ，0)y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，1F ，2F 是C 的左、右两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是() A．(B．(C．(33-D．( 【答案】A【解析】由题意，120(MF MF x =-，00)(3y x --，2220000)3310y x y y -=-+=-<，所以0y <<． 21．（2015•新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( ) AB ．2 CD【答案】D【解析】设M 在双曲线22221x y a b-=的左支上，且2MA AB a ==，120MAB ∠=︒，则M 的坐标为(2)a -，代入双曲线方程可得，2222431a a a b-=，可得a b =，c =，即有ce a ==．22．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为( )A B C ．4 D 【答案】D【解析】2212(||||)3PF PF b ab -=-，∴由双曲线的定义可得22(2)3a b ab =-，22430a ab b ∴+-=，4b a ∴=，c ∴，ce a∴=．23．（2014•湖北）设a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221x y cos sin θθ-=的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，sin cos a b θθ∴+=-，0ab =，过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线为222()b a y a x a b a --=--，即()y b a x ab =+-，即sin cos y x θθ=-，双曲线22221x y cos sin θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，∴过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221x y cos sin θθ-=的公共点的个数为0．24．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab =，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94D ．3【答案】B【解析】不妨设右支上P 点的横坐标为x 由焦半径公式有1||PF ex a =+，2||PF ex a =-，12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab =，23ex b ∴=，229()4ex a ab -=∴229944b a ab -=，即229490b a ab --=，(34)(3)0b a b a ∴-+= 34a b ∴=，54c b ∴=，53c e a ∴==．二．填空题（共8小题）25．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．【答案】y =【解析】双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．26．（2013•天津）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．【答案】2213y x -=【解析】由抛物线28y x =，可得22p=，故其准线方程为2x =-． 由题意可得双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)-，2c ∴=．又双曲线的离心率为2，∴2ca =，得到1a =，2223bc a ∴=-=．∴双曲线的方程为2213y x -=．27．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 【答案】2 【解析】如图，1F A AB =，且120F B F B =，1OA F B ∴⊥，则1:()a F B y x c b =+，联立()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222(a c B b a -，22)abc b a -，则4222222222222()()a c a b c OB cb a b a =+=--，整理得：223b a =，2223c a a ∴-=，即224a c =， ∴224c a =，2ce a==． 28．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为 ． 23【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若60MAN ∠=︒，可得A 到渐近线0bx ay +=的距离为：3cos30b ︒， 223a b =+，即3a c =，可得离心率为：23e =． 29．（2016•浙江）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且△12F PF 为锐角三角形，则12||||PF PF +的取值范围是 ． 【答案】(27,8)【解析】如图，由双曲线2213y x -=，得21a =，23b =，∴222c a b +=．不妨以P 在双曲线右支为例，当2PF x ⊥轴时，把2x =代入2213y x -=，得3y =±，即2||3PF =，此时12||||25PF PF =+=，则12||||8PF PF +=； 由12PF PF ⊥，得22221212||||||416PF PF F F c +===， 又12||||2PF PF -=，①两边平方得：221212||||2||||4PF PF PF PF +-=， 12||||6PF PF ∴=，②联立①②解得：12||17,||17PF PF =+=-+， 此时12||||27PF PF +=．∴使△12F PF 为锐角三角形的12||||PF PF +的取值范围是(27,8)．故答案为：(27,8)．30．（2016•北京）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ． 【答案】2【解析】双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y x =±，即a b =，正方形OABC 的边长为2，22OB ∴=22c = 则2228a b c +==，即228a =，则24a =，2a =31．（2016•山东）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 2 ．【答案】2【解析】令x c =，代入双曲线的方程可得2221c b y b a a=±-=±，由题意可设2(,)b A c a -，2(,)b B c a --，2(,)b C c a -，2(,)b D c a，由2||3||AB BC =，可得22232b c a=，即为223b ac =， 由222b c a =-，ce a=，可得22320e e --=，解得2e =（负的舍去）． 故答案为：2．32．（2015•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(0A ，66)．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【解析】由题意，设F '是左焦点，则APF ∆周长||||||||||||2AF AP PF AF AP PF =++=++'+ ||||2(AF AF A +'+，P ，F '三点共线时，取等号），直线AF '的方程为13x =-与2218y x -=联立可得2960y +-=，P ∴的纵坐标为APF ∴∆周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．。