别为: M=
T 1 T 2 T
M1 0
0 ห้องสมุดไป่ตู้2
,
T i0
Q=
Q1 Q2
T i T
q = [ q q ] , qi = [ r H i a ] i = 1, 2 由于 B 1 的一端为 铰座, 另一端与 B 2 铰接, 运 动学约束方程为 r 20 = r10 + A1 [ Q 0 ( l1 ) + u( l 1 ) ] ( 5) 0- 1 令 B1 = Á I A1 , Á I= , 式 ( 5 ) 对时间求二阶导数 1 0 r10 = 0 , 及变分 , 可得到: & r10 = 0
K ia i + D W= 0
( 3) 对式( 1 ) 关于时间求导 , 并代入式 ( 3) , 得到柔性 梁系统的动力学变分方程为 D q (- M& q + Q) + D W = 0 ( 4) 式中, 系统的广义质量阵、 广义力阵和广义坐标阵分
T
式中 : ri 0 为 B i 的 浮动坐 标系 X i Y i 的原点 关于绝 对
F p T T F cos H 1 5 12 ( lp )
( 18) ( 19)
0 I 0 0 , C1 C2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 I C1 = B1 [ Q 0 ( l 1 ) + u( l1 ) ] C2 = A1 5 1 ( l1 ) - p H( l 1 )
T
在数值积分过程中, 由式( 14) 通过变形坐标 p 1 计算 d n , 当 d n < 0, 发生撞击 , D = | d n | , 通过关系式 f = k D 计算 f , 通过 F = f L ( d n ) 和式 ( 18) 、 ( 19 ) 计 算广义力, 数值积分求解.
模量; C 0、 C 1 分别为固定撞击面与柔性摆的泊松比 . 撞击力的虚功为
1 QH + D D W = D d nF = D H p 1 Qp 广义撞击力为: F T F
& q= C& q+ D
( 17)
QF H = F cos H 1 [ l p + 5 11 ( l p ) p 1 pT 1 H1 ( lp ) p 1 / 2] - F sin H 1 5 12 ( lp ) p 1 Q = F sin H 1 [ 5 11 ( lp ) - H 1 ( l p ) p 1 ] +
坐标系 XY 的矢径在 XY 下的坐标阵 ; Ai 为 X i Y i 关 于 X Y 的方向余弦阵 ; Q c 0i 为 B i 中线上任意一点关于 X i Yi 的矢径在 X i Y i 下的坐标阵 ; p i 为模态坐标阵; 中线上任意一点的变形位移在 X i Y i 下的坐标阵uc i 为
[ 6]
1
动力学方程推导
本文的建模理论基于以下假设 : ① Euler - Ber noulli 假设; ② 小变形假设; ③ 点与点碰撞假设; ④ 不计摩擦 . 图 1 为一柔性双摆系统 , 是由两根柔性梁组成 的多体系统 . 在重力作用下, 柔性摆 OD 运动到铅垂 位置时, B 点与固定撞击物的 C 点碰撞 , 撞击点 B 位于离 B 1 端点距离为 lp 处 . 建立绝对坐标系 X Y 和柔性双摆的浮动坐标系 X 1 Y 1 、 X 2 Y 2 . 设柔性双摆 B 1 和 B 2 的长度分别为 l 1 和 l2 . B i 上任意一点的绝 对位移在惯性基下的坐标阵为 ri = ri 0 + Q 0i + ui = ri 0 + Ai ( Q c 0i + u c i ) i = 1, 2 ( 1)
柔性体的动力学变分方程 , 根据运动学约束关系, 运用缩并法 , 建立了柔性双摆系统接触碰撞的动 力学方程. 首先通过柔性单摆和固定刚性物体的撞击实验验证了建模理论的正确性. 在此基础上, 对柔性双摆系统进行仿真计算 , 得到了撞击力变化规律 , 并揭示了横向变形和角速度在冲击波传播 过程中的突变现象. 关键词: 柔性多体系统 ; 弹性碰撞; 动力学 中图分类号 : O 313. 3 文献标识码 : A
图1 Fig . 1 柔性双摆撞击示意图
# 2 #
( 6)
& r 20 = & & r10 + H 1 B1 [ Q 0 ( l1 ) + u( l1 ) ] + A1 & u( l1 ) H1 A1 [ Q 0 ( l1 ) + u( l 1 ) ] + 2 H1 B1 u( l 1 ) ( 7)
收稿日期 : 2005 -09 -28 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10472066)
复杂工程实际问题的解决具有重要意义 . 柔性多体 系统碰撞动力学从力学本质上看是一种非定常的、 含接触碰撞的、 非线性的动力学过程 , 其中对撞击力 的正确计算是解决柔性多体系统碰撞动力学问题的 关键. 笔者基于 Saint - Venant 撞击理论 , 用有限元 方法和子结构 方法对柔性体 进行离散
iy uc 5 i 1 , 5 i 2 为模态阵,
uc i =
uc ix
=
5 i1 p i - p T i H ip i / 2 5 i2 p i 0 , 0]
( 2)
5 i 1 = [ <11
5 i 2 = [ 0 <21 , <2 n ] 对于 B 1 和 B 2 , 均取固支- 自由模态函数, 取 1 阶纵 向振动模态 <11 = sin ( PN / 2 ) , n 阶横向振动模态. <2i 的表达式为 <2i = cos K iN - ch K i N( co s K i + ch K i ) ( sin K i N- sh K iN ) sin K i + sh K i 其中, K 1 = 1. 875 1 , K 2 = 4 . 694 1 , K 3 = 7. 8454 7 , K i= ( 2i - 1) P , i= 4, 5 , ,, n. 2 耦合形函数阵为 Hi =
3/ 2
52 ( l 1 )
# 2 1 #
E = - H A1 [ Q 0 ( l 1 ) + u ( l1 ) ] + 2 H 1 B1 u( l 1 ) 将式 ( 11) 代入式 ( 1) , 柔性双摆的动力学变分方 程为 D½ q (- M Ì & q+ Q Â) + D W = 0
( 9) 采用缩并法求解 . 令系统独立的广义坐标为 q = [H ½ 1 由式 ( 6) ~ ( 9) 得到: D q = CD q, ½ 式中 : 0 1 C= 0 0 0 0 0 0 D= 0 0 0 E 0 0 pT 1 H 2
T pT 2]
k= 4 3
2
2
RE * ,
( 10) ( 11)
柔性多体系统的碰撞问题具有一定的工程应用 背景 , 如卫星太阳帆板的撞击锁定 , 空间交会对接的 撞击锁定等. 多体间碰撞使系统的动力学特性在短 时间内发生明显的变化. 根据工程设计和强度的要 求, 人们不仅需要计算撞击冲量, 还需要计算撞击力 和撞击时间, 因此, 建立合理的撞击动力学理论 , 对
T he elastic im pact of a flex ible do uble - pendulum
D r 20
D r 10 = 0 ( 8) = D r 10 + D H 1 B1 [ Q 0 ( l1 ) + u( l1 ) ] + A1 D u( l 1 )
刚度系数为 :
0 1- C 1 1 = 1- C + ( 16) * E 0 E 1 E 式中: E 0 、 E 1 分别为固定撞击面与柔性摆 B 1 的弹性
Q
x
i
0
5 5 i2 5N
T
5 5 i2 dN 5N
设 Ki 为 B i 的模态刚度阵, f i 为体力 , D W 为撞击力 做的虚功, 根据 Jourdain 变分 原理, 柔 性梁系统的 动力学变分方程为
i= 1
EQ
2
D rT i ( f i - Q& r i ) dV V
i= 1
a ED
2
T i
Dynamic Modeling of a Flexible Multibody System with Elastic Impact
SH EN G L i-w ei , LI U J i n - y ang , Y U Zheng -y ue ( Dept . of Eng . M echanics, Shang hai Jiao to ng U niv. , Shanghai 200030, China ) Abstract: T he mo deling of a f lexible m ult ibody syst em w it h elastic impact w as invest igat ed. Based on H er tz impact t heory , dynam ic variat io nal equat ion of each flex ible body w as est ablished, in w hich t he g eo m et ric nonlinearity is t aken int o acco unt . By using kinem at ic const raint equat ions and reduced coo rdinat e fo rmulation, equat ions of f lex ibl e double pendulum w ere derived. An exper im ent of t he im pact of a flex ible pendulum w it h a f ixed rigid body w as carried o ut t o v erif y t he cor rect ness of t he m odeling m et hod, and then a f lexible do uble pendulum w as simulat ed to obt ain t he t ime hist ory of t he impact fo rce. T he result show s t he sudden chang e of ang ular v elo cit y and t he tr ansv erse defo rmat ion during t he course of impact w av e pro pagat ion. Key words: flex ible m ult ibody syst em; elast ic im pact ; dy namics