1 x ，且过点
2
1 5,
，求 C1 的方程 .
2
（ 2）在（ 1）的条件下，如果 k1
k2
15 ，求 △ ABQ 的面积 8
（ 3）试问 k1 k 2 k 3 k4 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由
.
21. 定义：若数列 an 满足：存在实数 M ，对任意 n N * ，都有 an M ，则称数列 an 有上界， M 是
有且只有一个 ai ai 1 i 1,2,L ,n 1 ，则满足性质 T 的所有数列的个数 f n
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题都给出代号 A、B、C、D的四个结论，其中有 且只有一个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分 .
13. “
2 ”是圆锥曲线 y2
x2
1 的焦距与实数
且数列 an 的极限存在，并求其极限 . （ 3）若正项递增数列 an 无上界，证明：存在 k N * ，当 n k 时，恒有
a1 a2 L a2 a3
an 1 n 2019 . an
一、填空题
1.
1 0,
3
复旦附中 2018 学年第二学期高三年级期末考试数学试卷 参考答案
2. 10
3. 1
2
4. 14 7. 11
．
6. 若 2sin cos
2
cos
0 ，则 cot
．
y2
7. 已知 x, y 满足约束条件 x y 1则 z 3x y 的最大值是
x y1
uuur
uuur
uuur uuur
8. 已知点 O 为 △ ABC 的外心，且 AC 4, AB 2 ，则 AO BC
． ．
9. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为
A. 一定单调递增 C. 可能没有单调增区间
B. 一定没有单调减区间 D. 一定没有单调增区间
16. 在数列 an 中，对任意的 n N * ，都有 an 2 an 1 an 1 an
k （其中 k 为常数），则称 an 为“等差比数
列” . 下面对“等差比数列”的判断：① k 不可能为 0 ；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是
等差比数列；④通项公式 an a bn c （其中 a 0 ， b 1， b 0 ）的数列一定是等差比数列 . 其中正
确的判断为（ A. ①②
） B. ②③
C. ③④
D. ①④
三、解答题（本大题满分 76 分）
17. 如图，一只蚂蚁绕一个数值放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为
1米，圆环的圆心 O 距离地
复旦附中 2018 学年第二学期高三年级期末考试数学试卷
2019 年 5 月 28 日
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果，第 1-6 题每题填对得 4
分，第 7-12 题每天填对得 5 分，否则一律得零分 .
1. 不等式 1 3 的解集为
．
x
2. 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120人，超过 45 岁的有 80 人，为了调查职工的健康状
况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为
25的样本，应抽取超过 45 岁的职工
人.
n1
, n 1000
3. 已知 an
2n n1
n
N*
则 lim
n
an
．
,1 n 1000
n
4. 一个等差数列的前 4 项之和是 40 ，最后 4 项之和是 80 ，所有项之和是 210 ，则项数 n
．
5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为
20. 已知
A, B 是双曲线
x2 C1 : a 2
y2 b2
1a
0, b 0 的两个顶点，点 P 是双曲线上异于 A, B 的一点， O
为坐标原点，射线
OP 交椭圆
C2
:
x2 a2
y2 b2
1 于点 Q ，设直线 PA, PB, QA,QB 的斜率分别为
k1,k 2, k3 ,k 4 .
（ 1）若双曲线 C1 的渐近线方程是 y
面的高度为 1.5 米，蚂蚁爬行一圈需要 4 分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点 P0 处 .
（ 1）试写出蚂蚁距离地面的高度 h （米）关于时刻 t （分钟）的函数关系式 h t .
（ 2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离底面超过
1米？
18. 如图，已知圆锥体 SO的侧面积为 15 ，底面半径 OA 和 OB 互相垂直，且 OA 3， P 是母线 BS 的
无关的（
）
52
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 直线 y
kx
m 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的交点个数最多为（
）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
15. 若对任意 x R ，都有 f x f x 1 ，那么 f x 在 R 上（ ）
中点 .
（ 1）求圆锥体的体积；
（ 2）异面直线 SO与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示） . 19. 设常数 a R ，若函数 f x a x x 1 存在反函数 f 1 x .
（ 1）求证： a 1，并求出反函数 f 1 x
（ 2）若关于 x 的不等式 f 1 x2 m f 1 mx 2 对一切 x 2,3 恒成立，求实数 m 的取值范围 .
a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的
数字记为 b ，且 a, b n 0 n 9, n N ，若 a b 1，称甲乙“心有灵犀” ，则甲乙“心有灵犀”的
概率是
．
10. 在 △ ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 DC 2BD ， AB : AD : AC 3: k :1 ，则实数 k 的取值范围
5. 8 3 8. 6
an 的一个上界 . 已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）
.
（ 1）数列 cos sin n
是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由
.
2
（ 2）若非负数列 an 满足 a1 0 ， an2 1 an 1 1 an2 n N * ，求证： 1是非负数列 an 的一个上界，
是
．
11. 已知x 是 R 上的单调增函数，则关于
x 的方程 x 2
1 xsin 2x
1 cos4 x 的实根
88
12. 己知 a1, a2L , a n是 1,2,L ,n 满足下列性质 T 的一个排列 n 2, n N * ，性质 T ：排列 a1, a2L , an 中