举一反三
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是
A.[ 0,π)
C. , 4 4
(
)
3 B , 4 4 3 D 0, [ , ) 4 4
解析
设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.
≧θ∈R,-1≤-cosθ≤1,≨-1≤tanα≤1， ≨α∈ 0, [ , ) . 4 4 答案 D
2 1 1 1 ab 4 ,当且仅当 ,即a=4,b=2时，等号成立. a b 2 2
x y 故直线方程为 1 ,即x+2y-4=0. 4 2
5 B. 0, [ , ) 6 6
5 D. , 6 6
5 C. 0, 6 分析 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围. 解 由直线xcosα+ 3y+2=0,
cos 3
所以直线的斜率为k=
设直线的倾斜角为β,则tanβ=
解
方法一：如图所示，直线 l如果
通过一、二、三或一、三、四象限时， △AOB的面积不存在最值，因此只考虑 直线 l 与x,y轴正方向相交的情况，这时 斜率必为负值. 设直线 l 的方程为y-1=k(x-2)（k＜0）,
则有A(2- ,0)与B(0,1-2k)，
1 1 1 1 1 2 4 4 k 所以 S (k ) 1 2k 2 4 4 4 2 k 2 k
3 （1）设直线 l 的倾斜角为α,则sinα= ， 5
即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0. (2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为α、β，则 ,
2
3 3 又tanβ=- ,故- =tan2α= 2 tan ， 2 4 4 1 tan 1 解得tanα=3或tanα=- (舍去). 3
由点斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. 学后反思 求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式，同 时注意各种形式的适用条件.用斜截式或点斜式时，直线的斜率必须 存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与 坐标轴垂直或经过原点的直线等.
举一反三
2. 直线 l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线 l 的方程.
截距式
一般式
x y 1 a b
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０ 平面直角坐标系内的直 线都适用 A2 B 2 0
典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率 ( )
【例1】直线xcosα+ 3 y+2=0的倾斜角的范围是 A. , ( , 5 ] 6 2 2 6


x y x y 故所求的直线方程为 1 或 4 16 1 , 9 3
即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
题型三 与直线方程有关的最值问题 【例3】直线l 过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当 △AOB面积最小时，直线 l 的方程. 分析 先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从 而求出直线的方程.
cos 3
又
3 cos 3 , 即 3 tan 3 3 3 3 3 3
5 所以β∈ 0, [ , ) . 6 6
学后反思 求倾斜角范围的步骤是： （1）求出斜率的取值范围； （2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值 范围.
3
题型二 求直线的方程
【例2】求下列直线l 的方程. 3 （1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5 (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线 l1 ：3x+4y+10=0的倾斜角的一半. 分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.
解
3 3 所以tanα=〒 ,故l 的方程为y=〒 x+2， 4 4
x2 x1
直线与方程
2. 直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程
y y0 k x x0
适用范围 不含直线 x x0 不含垂直于ｘ轴的直线 不含直线 x x1 x1 x2 和直线 y y1 y1 y2
ｙ＝ｋｘ＋ｂ
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
解析 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线 l在两轴上的截 距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程.
设直线 l 的方程为
x a y 1 ,则a+b=12. b
3 4
① ②
又直线l 过点(-3,4),则 a b 1 . a=9, a=-4, 由①、②解得 或 b=3 b=16.
第十单元 平面解析几何
第一节
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与x轴平行或重合 时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率 ①定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 y2 y1 x x k 经过两点P (其中 1 2 )的直线的斜率公式为 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y2
1 k
当且仅当 4k
1 1 ,即k=- 时，等号成立. 2 k 1 2
故直线 l 的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.
方法二：设过P（2，1）的直线为
2 1 则 1 . a b
x y 1 (a＞0,b＞0), a b
由基本不等式得 2
SOAB
2 1 2 1 1 ,即ab≥8, a b a b