27
§1-2 质点运动的描述之二
伽利略速度变换
v v'u
y
o ut
y'
D o'
r
u
p'
QQ'
绝对速度 相对速度 牵连速度 注意
dr v dt dr ' v' dt
r '
xx '
z
z'
u
u
t t v v' u
dv dv' du 加速度关系 dt dt dt
v2
v

v1
§1-2 质点运动的描述之二
4
a atet anen
an 0 0 π
切向加速度
a tan an t
1ห้องสมุดไป่ตู้
at dv r dt
a
y
v
en
et
0, 0 π , v 增大 2 π a t 0, 2, v 常量 0, π π , v 减小 2
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
（E）若物体的加速度 变速率运动 .
§1-2 质点运动的描述之二
a
为恒矢量，它一定作匀
8
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速率满 足 v kRt ， k为常数，求：切向加速度、 法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
法向加速度 加速度
2
dv a kR dt 2 2 v ( kRt ) 2 2 an k Rt R r
F v1 O v n v v2 D v E
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
§1-2 质点运动的描述之二 13
a an

a
加速度总是指向曲线的凹侧
§1-2 质点运动的描述之二 14
小结：一般曲线运动（自然坐标）
ds 其中 d 曲率半径 .
§1-2 质点运动的描述之二
当
接近光速时，伽利略速度变换不成立！
du 若 0 dt
则 a a'
28
例: 如图示，一实验者 A 在以 10 m/s 的速率沿水平轨 道前进的平板车上控制一台射弹器, 此射弹器以与车前进 60 反方向呈 度角斜向上射出一弹丸 . 此时站在地面上的 另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动, 求弹丸上升的高度 .
§1-2 质点运动的描述之二 24
• 在人们的日常生活和一般科技活动中，上述关于 时间和空间的量度的结论是毋庸置疑的。时间和 长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础。但 是当相对运动的速度接近于光速时，时间和空间 的测量将依赖于相对运动的速度。
• 只是由于牛顿力学所涉及物体的运动速度远小于 光速，所以在牛顿力学范围内，时间和空间的测 量才可以视为与参考系的选取无关。
• 然而，在牛顿力学范围内，运动质点的位移、速 度和运动轨迹则与参考系的选择有关。
• 底下讨论这方面问题。
§1-2 质点运动的描述之二 25
*六 相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
§1-2 质点运动的描述之二 26
质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移
S系
(Oxyz )
oo'
yy'
v' y v' y '
B
60
v

u
解 地面参考系为 S 系 平板车参考系为 S' 系
tan
速度变换
v'y v'x
A
u
x'
o
o'
x
v x u v'x v y v'y
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§1-2 质点运动的描述之二
解 地面参考系为 S 系，平板车参考系为
S
'系
vx 0
v'y tan v'x
v x u v'x
v y v'y
1
v'
v

v'x u 10m s
v y v'y v'x tan
u
y v' y '
B
60
v y 17.3m s
弹丸上升高度
1
A
u
x'
o
o'
x
y
v
2 y
2g
15.3m
2 n
a a a

§1-2 质点运动的描述之二
kR k Rt
2 2
2 2
9
*补充：
s
自然坐标系
P
e s Q e
O
在轨道曲线上任取一点为坐标原点， 以“弯曲轨道”作为坐标轴。 P处的坐标即为轨道的长度s (自然坐标)

运动方程 s s( t ) 方向描述 作相互垂直的单位矢量 e
18
所以质点的运动方程为：
(2)上式中消去t,得y=3x2 即为轨道方程。可知是 抛物线。
§1-2 质点运动的描述之二 19
§1-2 质点运动的描述之二
20
例3： 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv
切向加速度（速度大小变化引起）
2s d v d at r 2 dt dt
法向加速度（速度方向变化引起）
o
v2 et 2 v1 et1
r
圆周运动加速度
v an v r r
2
2
a atet anen 2 a at2 an
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§1-2 质点运动的描述之二
已知： vA 1940km h
1
（2）在时间 t 内矢径 r 所转过的角度 为
A
t 3s
AB 3.5km
vB 2192km h 1
vA
B

1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n

at
o
§1-2 质点运动的描述之二
§1-2 质点运动的描述之二 11

沿A点的切线方向(平行 )
沿A点的法线方向(平行 )
切向加速度 由于速度大小变化而 产生的，沿切线方向
§1-2 质点运动的描述之二
法向加速度 由于速度方向变化而 产生的，沿法线方向
12
切向加速度大小等于速度的大小(或速率)对 时间的导数，方向沿轨道的切线方向。
§1-2 质点运动的描述之二
o a x a
5
圆周运动的线量与角量的关系：
角量 1）角位置、位置： 2）角位移、位移： 线量 角量与线量关系


s
s
s r
a a t et a n e n dv r at dt 2 v 2 an r r
4）角加速度、线加速度：
2 匀变速率圆周运动
t 0 时, 0 , 0
0 0t 1t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
7
§1-2 质点运动的描述之二
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一 种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
e en
en
切向单位矢量 法向单位矢量
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§1-2 质点运动的描述之二
*补充：
曲 线 运 动
v1 A e B en
一般曲线运动
v2

C
F v1 O v n v v2 D v E
速度增量 取 由于速度大小不同而引起的速度变化 由于速度方向改变而引起的速度变化
一、 平面极坐标 设一质点在 Oxy 平面内 运动，某时刻它位于点 A .矢
y
径
为 . 于是质点在点 A 的位
r
与
x
轴之间的夹角
置可由 A(r , ) 来确定 .
o

r
A
x
x r cos y r sin
1
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 . 它与直角坐标系之间的变换关系为
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§1-2 质点运动的描述之二
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§1-2 质点运动的描述之二
例1：由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口为 原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
o
解：(1)
v0
x

an
a
y
§1-2 质点运动的描述之二
ds v et dt
dv v 2 a et en dt
讨论下列几种运动情况：
1. 2. 3. 4.
a 0 , a n 0 a C , a n 0 a 0 , a n C a 0 , a n 0