第6章 马尔科夫预测方法
思考与练习（参考答案）
1.设某市场销售甲、乙、丙三种牌号的同类型产品，购买该产品的顾客变动情况如下：过去买甲牌产品的顾客，在下一季度中有15%的转买乙牌产品，10%转买丙牌产品。

原买乙牌产品的顾客，有30%转卖甲牌的，同时有10%转卖丙牌的。

原买丙牌产品的顾客中有5%转买甲牌的，同时有15%转买乙牌的。

问经营甲种产品的工厂在当前的市场条件下是否有利于扩大产品的销售？
解：状态转移概率矩阵为：
假设市场达到稳定状态时，甲、乙、丙市场占有率分别为 x 1、 x 2、 x 3 、，则：
所以，在当前的市场条件下，当甲种产品的市场占有率大于0.40时不利于扩大商品的销售；当甲种产品的市场占有率小于0.40时利于扩大商品的销售。

2.某产品每月的市场状态有畅销和滞销两种，三年来有如下记录，见下表。

“1”
解：由题可得：畅销状态有 M 1 =20
滞销状态有 M 2 =12
从畅销到畅销有 M 11 =12 从畅销到滞销有 M 12 =7 从滞销到畅销有 M 21 =7 从滞销到滞销有 M 22 =5
0.750.150.1P=0.30.60.10.050.150.8⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
[][]1123123
233120.750.150.10.30.60.10.050.150.0.40,0.27,0.3813
x x x x x x x x x x x x ⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥=⎨⎢⎥⎣⎦⎪
⎪+=+===⎩⇒
计算状态转移概率矩阵（在计算状态转移概率矩阵时最后一个数据不参加计算，因为它在之后转移到哪里尚不清楚）
一步转移概率矩阵为：
⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
12719
19P 7512
12 二步转移概率矩阵为：
=
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2
(2)21271919P P 751212 3.某市三种主要牌号甲乙丙彩电的市场占有率分别为23%、18%、29%，其余市场
为其它各种品牌的彩电所占有。

根据抽样调查，顾客对各类彩电的爱好变化为
0.50.10.150.250.10.50.20.20.150.050.50.30.20.20.20.4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中矩阵元素
ij
a 表示上月购买 i 牌号彩电而下月购买 j 牌号彩电的概率；1,i =
2，3，4分别表示甲乙丙和其他牌号彩电。

1) 试建立该市各牌号彩电市场占有率的预测模型，并预测未来3个月各种牌号彩电市场占有率变化情况；
2）假定该市场彩电销售量为4.7万台，预测未来三个月各牌号彩电的销售量； 3）分析各牌号彩电市场占有率变化的平衡状态；
4）假定生产甲牌彩电的企业采取某种经营策略（例如广告宣传等），竭力保持了原有顾客爱好不向其它牌号转移，其余不变。

分析彩电市场占有率的平衡状态。

解：（1）市场占有率初始向量为：P （0）=（0.23 0.18 0.29 0.3） 状态转移概率矩阵为：
则第K 期的市场占有率的预测模型为：
0.50.10.150.250.10.50.20.2P=0.150.050.50.30.20.20.20.4⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦k k 0.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.290.3)0.150.050.50.30.20.20.20.4k
⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
未来一个月的各种牌号彩电的市场占有率为：
未来两个月的各种牌号彩电的市场占有率为：
()
2
220.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.29)0.150.050.50.30.20.20.20.4=0.2380.1910.2710.299⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
未来三个月的各种牌号彩电的市场占有率为：
()
3
330.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.29)0.150.050.50.30.20.20.20.4=0.2390.1930.2690.299⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）市场未来三个月销售总量为4.7台，则每月销售 c=4.7/3
未
来一个
月，各牌号彩电的销售量分别为：0.371万台，0.294万台,0.432万台,0.471万台。

()
1
110.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.290.3)0.150.050.50.30.20.20.20.4=0.2370.1880.2760.301⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
未来两个月，各牌号彩电的销售量分别为：0.374万台,0.300万台,0.424万台,0.469万台。

未来三个月，各牌号彩电的销售量分别为：0.374万台,0.302万台,0.422万台,0.468万台。

[][]
12
34123
4123412340.50.10.150.250.10.50.20.20.150.050.50.30.20.20.20.40.2388,0.194,0.2687,0.2985
1
x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎡⎤
⎪⎢⎥
⎪⎢
⎥⎪=⎢⎥⎨⎢⎥⎪⎣⎦⎪+++=⎪⎩
==⇒==
（3）设市场达到稳定状态时甲、乙、丙、其他市场占有率分别为，x 1、 x 2、 x 3 、 x 4 ，则： 各牌号彩电市场占有率达到平衡时，各自的市场占有率分别为：23.88%,19.40%,26.87%,29.85%.
(4)假定生产甲牌号彩电的企业采取某种经营策略（例如广告宣传等），竭力保持了原有顾客爱好不向其他牌号转移，其余不变，则彩电市场的状态转移矩阵为：
10000.10.50.20.2P=0.150.050.50.30.2
0.2
0.2
0.4⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当市场达到平衡时，必然是甲垄断所有市场。

4.某高校教师队伍可分为助教、讲师、副教授、教授、流失及退休五个状态。

1998年有助教150人，讲师280人，副教授130人，教授80人。

根据历史资料分析，可得各类职称转移概率矩阵如下：
0.60.4
00000.60.2500.15000.550.210.240000.800.2000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
要求分析三年后的教师结构及三年内为保持编制不变应进多少研究生充实教师队伍。

解：由题可得目前状态为：P （0）=（150 280 130 80 0）
根据历史资料，
一年后人员分布：P （1）= P （0）·P = （90 228 142 91 89）
要保持640人的总编制，流失89人，故第一年应进89位研究生。

P ’(1) = (90+89 228 142 91 0)
0.60.40
0000.60.2500.15000.550.210.240000.800.2000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P
第二年P（2）= P’（1）·P = (107 208 135 103 87)
要保持640人的总编制，流失87人，故第二年应进87位研究生。

P’(2) = (107+87 208 135 103 0) 第三年P(3) = P’(2)· P = (117 202 126 111 84)
要保持640人的总编制，流失84人，故第三年应进84位研究生。

在第三年年底，人员结构为：P’(3) = (201 202 126 111 0)。