6 曲线 y x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ，a 0 ，则当a __时，面积 最小 . S
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y 与直线 y x 及x 2 ； x 2 y x 与直线 y x 及 y 2 x ； 2、 3、 r 2a ( 2 cos ) ； 4、摆线 x a ( t sin t ) , y a (1 cos t ) ( 0 t 2 ) 及 x 轴； 5、 r 3 cos 及r 1 cos 的公共部分； x 3 y 3 3axy . 6、笛卡尔叶形线
x 0
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) 2 y 2 xy 2 xy y
2 积分得 y cx ,
9 因为曲线 y f ( x ) 过点( 2,3) c 2
9 y x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y 2x. 2
练习题
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．

r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .

x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
ห้องสมุดไป่ตู้
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B
M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 A 0 ( x x )dx x 2 . 3 0 3 3
1
3
1
2
例 2
计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围
y x
A 4 A1
A1
A 4 0

4
1 2 a2 . a cos 2d 2
2 a 2 cos 2
例 5 求心形线 r a(1 cos ) 所围平面图形 的面积(a 0).
1 2 2 解 dA a (1 cos ) d 2
利用对称性知
d
1 2 A 2 a (1 cos ) 2 d 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d 0 3 2 sin 1 sin 2 3 a 2 . a2 2 4 0 2
2
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2x y x4
( 2,2), (8,4).
y2 2 x
选 y 为积分变量
y [2, 4]
A dA 18.
4 2
2 y dA y 4 dy 2
练习:求抛物线
解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
2
2
A 4 0 ydx 4 b sin td ( a cos t )
2
a
0
4ab sin 2 tdt ab.
0
2
二、极坐标系情形
d
设由曲线 r ( ) 及射线
、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( )
t2 t1
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 ,t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
y (t ) 连续.
x y 例 3 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、 y ； 5、e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、a ； 2 6 3 2 5 2 4、 3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
三、 求 抛 物 线 y x 2 4 x 3 及 其 在 点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 ) 处的切线所围成的图形的面积 . 四、 求位于曲线 y e 下方，该曲线过原点的切线的 左方以及 x 轴 上方之间的图形的面积 .
x
y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 五、 求由抛物线 面积的最小值 .
思考题解答
S 2 2S1
y
S1
y f ( x)
( x, y)
S2
S 2 0 f ( x )dx
x
o
x
x
S1 xy S 2 xy 0 f ( x )dx
0 f ( x )dx 2[ xy 0 f ( x )dx ]
3 f ( x )dx 2 xy ,
一、 填空题： 1、由曲线 y e x , y e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2、由曲线 y 3 x 2 及直线 y 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ . 3、由 曲 线 y x 1 x 2 , y 1 , x 1 , x 1 所 围 成平面区域的面积是_______ . 4、计算 y 2 2 x 与 y x 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y e x , y e x 与直线x 1 所围成平面区 域的面积是_________ .
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
直角坐标方 程 边界方程 参数方程 极坐标方程
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
思考题
设曲线 y f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线 与 y 轴 和 曲 线 y f ( x ) 围 成 的 面 积 的 两 倍，求曲线方程.
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.