用定积分求面积的两个常用公式
求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．
一、两个常用公式
公式一：由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为
A ＝
|()|b
a
f x dx ⎰
．
特别地，（1）当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()b
a
f x dx ⎰
；
（2）当f (x )≤0时(如图2)，A ＝－
()b
a
f x dx ⎰
；
（3）当f (x )有正有负时(如图3)，A ＝
()c
a
f x dx ⎰
－
()b
c
f x dx ⎰
．
公式二：由连续曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，f (x )≥g (x )及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的图形(如图4)的面积A 为
A ＝
[()()]b
a
f x
g x dx -⎰．
二、应用举例
例1 由y ＝x 3
，x ＝0，x ＝2，y ＝0围成的图形面积．
分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．
解：（1）如图1，由公式1，得
1
图2
图
S ＝
2
30
x dx ⎰
＝
4244
0111|204444
x =⨯-⨯=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．
例2 （1）由曲线y ＝x 2，y 2
＝x 所围成图形的面积． （2）由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝3
4
x 在第一象限所围成图形的面积．
分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分． 解：（1） 如图2，所求面积为阴影部分．
解方程组22
y x
y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得 S
＝1
2
0)x dx ⎰＝3312
02211()|33333
x x -=-=．
（2）如图3，解方程组2114
12y x y x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和
2114
34
y x y x ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩， 得x ＝0，x ＝1
＋负的舍去)，x ＝4． 由公式2，得图形面积 S
＝10
31
()42
x dx -⎰
＋4
2111
[(1)]42
x x dx --
⎰
216-=．
3
图。