视作变量 ， 再构造 出关于此变量的函数 ， 转化为求关 于函
（ 形成对问题逆向、 三） 侧向及发散思维的习惯
逆向思维往往是与一般的、 传统的思维相反的一种思
维， 如在“ 司马光砸缸” 的故事中， 小司马光聪明之处在于 危机之时， 善于借用逆向思维解决问题： 让水脱离于人， 一 般的思维是让人脱离于水。 侧向思维即思维向外侧扩散， 通常可解释为是借用“ 外部” 信息， 的 这些信息表面看起来 似乎与待解决的问 题毫无关系， 但具有“ 之石， 它山 可以攻 玉”出自 诗经》的作用。 （ 《 ） 如解决数学问题时常用到的“ 补
数的最大值问题， 从运算过程来看， 较为复杂； 如果我们变 换问题的角度 ， 注意到 Ｏ 、Ｍ长度为定值， ＡＯ 在三角形中将 两个变量／ Ｍ 和／ Ａ ＿ Ａ ． Ｍ相互关联、 Ｏ Ｏ 并制约在一起求解，
从解题的策略上显然是优化 的：令 ／Ｏ Ｍ ０ ， Ａ ＝ ，在 ＡＯ Ａ Ｍ 中，由正弦定理得 ： ｓ ｏ ＝ ＭＡ ｓ ＝ ０ ｓ ，故
一
在全集 ｕ中，这充分说明 Ｃ ｕＡ和 Ａ是对立统一的， 符
合哲学的观点， 任何事物都具有正反两面性， 它们是对立
统一的。
（ ） 四 积极形成反思意识
东西背后体现出学习者对数学的理性思考。举一案例。 笔者在讲高中数学中数乘向量 （ 概念时， 』 ） Ｌ Ｅ 首先让
学生先从特例出 发理解， 如先理解“ ＝－” 为此引导 ２ ａ 时， ａ ￣ 学生联想实数乘法的意义， ２３ 的意义是什么？学生 如“ｘ” 明白２３２２２但是在实际教学中发现， ｘ＝＋＋ ， 几乎没有一 个 学生能将乘法符号“” ×写对， 都写成了 叉号“ 。 ×” 事实上， 乘法本质是加法的另一种表示， 乘法符号“” Ｘ 实际上就是
的形成 。当一个问题想不清楚时 ， 经常要不分时 间与空
间地去思索， 要达到一种过量思考， 在此过程中解决者 大脑中的多个神经通路会得以发展 ， 其问题意识增强， 大脑更加聪明，在某瞬间问题解决的灵感往往产生， 灵 感是创造性思维 由量变到质变 的一个 飞跃 ， 这种感性 的
道①（ Ａ Ａ ＝ ②（ Ａ Ｎ ＝ 结论①说 明是 ｃｕ ） Ａ ； ｃ ） Ａ Ｕ， Ｕ Ｃ Ａ和 Ａ Ｕ 对立的， 结论②说明ｃ Ａ和Ａ是统一的， ｕ 统
两支队， １＋＋＋＋＝９ 应有 ５７４２１２ 场比 赛。 【 思路分析 ２创新思维可这样考虑： 】 因为每场要淘汰
１ 个队 ， 个 队要淘汰 ２ 个队才能决出一个冠军 ， ３ ０ ９ 因此应
安排 ２ 场 比赛。 ９ （ ） 二 对问题进行拓展 变换 ， 形成“ 多解” 一题 的习惯
潜力和聪明才智。 举一例子。假如现在是下午 １ ３ 分， “ 点 ０ 如果你的表变快了 ， 时间恰好显示是 ｌ ４ 分 ， 点 ０ 你如何去
“ 过程性评价” 就是一种倾 向于“ 过程” 发展” 和“ 的
非常容易：１它仍是一个向量；２实数 实质上是对 （） （）
向量口 进行了同直线上的“ 伸缩变换” 。①当 ０ ＞ 时，
的方向与 口 的方向相同， 并且当ｋ ｌｆ ｔ Ｉｌ使得 口 ＞ ， ＞ａ ， 在同方向 拉长， ＜＜ ， ｆｌＩ入 当ＯｋｌＩ ＜ａ ，使得 ａ 在同方向 缩短， ②当 ｋ Ｏ 的方向与 ａ ＜ 时， 的方向相反 ； 并且当一
创造精神 ， 有了强烈的创造动机和激情 ， 才能释放出创新
去探索、 去冒险、 去体验成功与失败、 去相互提问时， 发展
问题解决能力才能成为学数学和做数学的一个 自然的组
成部分。
【 例题 １‘０ 】 支足球队进行淘汰赛， 一个冠军， ‘ ３ 决出 问
需要安排多少场比考虑： 支队比赛， ３ ０ 每次出
古人云： “ 学贵知疑， 小疑则小进， 大疑则大进。” 当你 处理完问题时要反思你的解法是否合理？是否还有其它 更简洁更优化的方法？积极的反思意识往往是创造性思
维的“ 产生点”美国著名数学家波利亚说过： 。 “ 掌握数学意
匮 ｕｉ ａｅｄｅａ Ｅ Ｐｔａ ｅｈＪ ｄａｎ蚴ｉ ｎ 究ｒ ｃ ａｒｃ Ｒ ｃ ｔ Ｉｃ ｓ ￣ ｏ
苎 ＝ 旦 一 旦 ＝
２ ２Ｃ￥ ２ Ｖ ０
ｂ＝ 经过圆 ２ Ｕｌ ｙ０ ＋ ＝ 的圆心 ０所以圆上任意一点 Ｍ ｙ ， （，） 到直线 ａ＋ｙ ０的距离都小于或等于圆半径 １ ｄ ｘｂ＝ ． ＝ 、 ／
：
、 － ５ ｃｓ 、 ／ ｃＯ ０ ｏ 一／ Ｏ 根据式子的结构特征，联想到直线的斜率公式 ， 令 ｙ一 － — 则Ｙ 可以看成是 ｃ Ｏｓ Ｏ与（／ ，） ｏ ，ｎ） 、 ０点 ｓ ｉ
学问题进行拓展变换和一题多解的习惯， 有利于创造性
ｊＥ ｕ ａｉｎ ｃｉ ｎ ｅ ｅ ｒｈ ｄ ｔ ｌ ｒ ｔ ａ Ｒ ｓ ａｃ ｃ ｏ ａ ａ ｃ Ｐ ｅ ｄ
思维的形成。
味着什么呢？这就是说善于解题，
不仅善于解一些标准的题 ， 而且善 理、 见解独到和有创造发明的题。 ”
ｃ 一 ／ 、２
Ⅱ＋ ２６
ｌ ＋， ≤１似＋ｙ ． ａ ｂ ｌ ， ６≤１ ｘ ，
’ 。
【 拓展变换】 已知ａ ｂ １ ２ ＝ 求 ａ＋ｙ 最大值． ２ ２ ， ２ ｘｂ 的 ＋＝Ｘ
（ 解答略）
连线的斜率的相反数 ．‰ ｌ ・ ．
【 反思评价】 以上解法是从函数的思想出发： ＿ Ｍ 将／ Ａ Ｏ
１ ０ ＜＜， 使得 ａ 在反向缩短 ，＜ １ 一 使得 ａ 在反向拉长； ③当 ０ ： 。 ＝ 时， ０ （ “ 六） 竞争” 合作” 与“ 的教学环境， 有利于创造性思维
内的二维思维， 还可能是三度空间中的的立体思维。 例如， 给三个人照相， 他们有几种站位方法呢？ 从一维空间上思 考是六种站法 ， 如果从多维角度发散思考会有很多站法。 在数学教育中， 对学生进行创造性思维的培养重在有 效发展学生的创造心理， 重在对学生“ 创造精神” 的培养， 而不是进行做题技巧、 技法的机械训练。学生只 有具有了
要有“ 质疑” 的精神， 要有挑战“ 权威” 传统” 和“ 的勇气。 教 师要积极为学生提供创造性思维的课堂环境、 人文环境，
教师既要尊重每一个学生，又要鼓励每一个学生积极思 考 ，对学生形式上的灌输是不利于学生对知识的建构的。 不利于学生创造性思维的培养 。 匈菲尔德指出： 当教师创设一种环境 ， 只有 鼓励学生
理 科 教 学 探 索
浅 谈 数 学 教 育 中 的 创 造 性 思 维
陈桂 虎
（ 石家庄市第二 中学 ，河北 石家庄 ０ ０ ０ ） ５ ０ ０
摘
要 ： 少学生学 习数 学， 不 习惯于死记规 则并机械运 用， 当遇到 问题 时靠竭 力回忆、 目尝试 ， 盲 解决 问题 基
本 靠机遇 ， 缺乏创造性。在数 学教 育中对学生进行创造性思维的培养 ， 有效发展 学生的创造心理 ， 养学生 重在 培
一
、
对“ 创造性思维” 的解读
气、 机遇发现 ， 这种过程是毫无意义的思维过程。 创造性思 维的培养在于问题解决者首先要树立创新的态度和信念 ，
在汉语系下 ，创 ” 造 ” “ 和“ 相关联 ， 具有破坏与构建相 统一的含义。所以“ 创造” 就是指破坏 、 否定和突破旧事物 旧模式 ， 构建产生新事物新思想的活动。“ 思维” 中的“ 思” 是思考 ，维” “ 可理解为“ 方向”“ ，思维” 就是沿着一定的方 向思考。创造性思维是没有固定的延伸方向， 它既可能是 同一直线上思维（ 包括相反方向即逆 向）也可能是在平面 ，
的创造精神 ， 而不是 进行做题技巧 、 技法的机械 训练。教 师要 积极 地为学生提供 创造性思维的课堂环境 、 文环 人
境 ， 励 学 生 积 极地 进 行 创 造 性 思 维 。 鼓
关键词 ： 学教 育； 数 创造性思维 ； 过量思考 ； 思； 反 竞争 ； 合作 ； 评价
中 图分 类 号 ： ３ ． 文 献 标 识 码 ： 文 章 编 号 ：０ ９ ０ ２ １ ０ — ０ ３ ０ Ｇ６ ３６ Ａ １ ０ — １ Ｘ（ ０ ７ ０ ４ — ３ Ｏ ２）
件 ｘｙ ｌ ％ ２ 可看作是以 ＝ 原点为圆心， 半径为 １ 单位圆， 的 而
ａ＋ｙ ｘｂ＝
Ｎ ｄ＋ ， ｂ ／
【 解析】 Ｍ ２ ／ ｏ ，、 ｓ ， 设 （、 ｃ Ｏ２ ／ ）由夹角公式得： ｓ ｎ
一
￡
＝
…
Ｏ ＭＡ
２ ＇－ｏＯ ２ Ｖ ｃｓ － ２
。联系到点到直线距离公式 ，直线 ｌｘ ：＋ ａ
进行创造性思维培养可从以下几方面进行 ：
（ ） 一 转变观念 ， 树立创新意识
当下， 许多学生习 惯于死记老师教给的规则， 并机械
运用， 不敢越雷池半步， 学习数学成为简单做数学问题， 当
遇到问题时全靠竭力回忆、 目 盲 尝试， 解决问题基本靠运
决者要对数学对象和数学结构十分“ 敏感”并能依据它 ， 们分析发现不同 对象之间的内在联系。 解决者养成对数
， ●
【 ２已 ｄ ｂ ｌ ２ ｌ 例题 】 知 ＋２ ，＋ 求证： ＋ｙ ． ＝ ａ ｂ ≤１ ｘ
不等式” ：
・
【 思路分析 １ 】 根据所给数学结构特征 ， 联想到“ 均值 于解一些要求 独立思考 、思路合
厂
：
．
掣 ， 毕 － ｂ 华 ＋二－ 二ｂ 二 ． ｙ 二学 １ ｙ ＿ ≤ ． ≤
校对表？” 常规思维是只要把表的分针逆时针（ 回） １ 往 拨 ０ 分即可 。 假如我们引导学生发散去想 ： “ 假如不把分针逆时 针拨， 而顺时针拨是否可以呢？” 答案是肯定的。
二、 在数学教育中， 如何进行创造性思维的培养
对问题进行拓展变换， 通常是改变原问题的条件、 或 改变结论 、 或对原问题进行一般化或各种引申等； 一 而“ 题多解” 是指对一个问题探求其多种解法。所以， 问题解