难点15 三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.
●案例探究
［例1］设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.
错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.
技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z 1=2z 2，
∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθ
sin 222cos 22m m
∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89. 当sin θ=41时λ取最小值－8
9，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθ
sin 222cos 22m m
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4
)22(42
22λ--+m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4,
令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0
)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434
589λλλλλ或或 ∴－
8
9≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－8
9，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技
巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，
试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？
知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.
错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不
够灵活.
技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.
解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=-==20021sin 4
sin cos cos gt v L h t v L S θαθα 由①②整理得：v 0cos θ=.2
1sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22
t L ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =
21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)
sin 1(2)sin 1(20αα-=-g gh g v =200(m) 即L max =200(m),又41g 2t 2=22
222t
L t h S =+. ∴θααcos 22cos cos ,20⋅====g
L gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°.
［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b .
(1)求这段时间的最大温差.
(2)写出这段曲线的函数解析式.
知识依托：依据图象正确写出解析式.
错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.
技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.
解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象.
∴
ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π,由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8
πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y =10sin(8
πx + 4
3π)+20,x ∈［6,14］. ●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用. ① ②
2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
3.三角函数与实际问题的综合应用.
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.。