湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A(a，3)，B(1，－2)，若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为A．6 B．－6 C．4 D．－42．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线lA．平行B．相交C．垂直D．异面3．已知直线l1：2x＋3my－m＋2＝0和l2：mx＋6y－4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为A.55 B.105 C.255 D.21054．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3，PC＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A．16πB．32πC．36πD．64π5．圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是A．内含B．相交C．内切D．外切6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A．若m∥n，m⊂β，则n∥β B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥β，α⊥β，则m∥α D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β7．在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(2，2，2)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为8．若点P(3，1)为圆(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为A．x－3y＝0 B．2x－y－5＝0C．x＋y－4＝0 D．x－2y－1＝09．已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是A．异面直线PA与BC的夹角为60°B．若M为AD的中点，则AD⊥平面PMBC．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面PAC10．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为A．x＝2或3x－4y＋10＝0B．x＝2或x＋2y－10＝0C．y＝4或3x－4y＋10＝0D．y＝4或x＋2y－10＝011．在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF，如图1.将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE，如图2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是A．AC∥平面BEFB．直线BC与EF是异面直线C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直答题卡题号1 2 3 4 5 6 7 8 9111得分答案二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是____________．13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14．已知三棱锥P －ABC 的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分8分)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，0)，B(4，6)，C(0，8)． (1)求BC 边上的高所在直线l 的方程； (2)求△ABC 的面积．16.(本小题满分10分)已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上．(1)求圆C的标准方程；(2)设动直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．17．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．(1)证明：A1B⊥平面AB1C;(2)求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分． 18．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x <1，N ＝{y|y ＝lg(x 2＋1)}，则N ∩∁RM ＝______．19．已知函数f(x)在定义域R 上单调递减，且函数y ＝f(x －1)的图象关于点A(1，0)对称．若实数t 满足f(t 2－2t)＋f(－3)>0，则t －1t －3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 二、本大题共3个大题，共38分．20．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．设函数f(x)＝mx2－mx－1，g(x)＝f（x）x－1.(1)若对任意x∈[1，3]，不等式f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝－14时，确定函数g(x)在区间(3，＋∞)上的单调性．已知圆C：(x－a)2＋(y－a－2)2＝9，其中a为实常数．(1)若直线l：x＋y－4＝0被圆C截得的弦长为2，求a的值；(2)设点A(3，0)，O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求a的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学参考答案 第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分.12．[－3，1] 13.32 14.34三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】(1)因为点B(4，6)，C(0，8)，则k BC ＝8－60－4＝－12.(1分)因为l ⊥BC ，则l 的斜率为2.(2分)又直线l 过点A ，所以直线l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.(4分) (2)因为点A(3，0)，C(0，8)，则|AC|＝9＋64＝73.(5分) 又直线AC 的方程为x 3＋y8＝1，即8x ＋3y －24＝0，(6分) 则点B 到直线AC 的距离d ＝32＋18－2464＋9＝2673.(7分)所以△ABC 的面积S ＝12|AC|×d ＝13. (8分)16．【解析】(1)方法一：因为线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，k AB ＝－17，则线段AB 的垂直平分线方程为y －12＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即y ＝7x －10. (2分)联立y ＝2x ，得x ＝2，y ＝4.所以圆心C(2，4)， 半径r ＝|AC|＝16＋9＝5.(4分)所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分) 方法二：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧－2D ＋E ＋F ＋5＝0，5D ＋F ＋25＝0，E ＝2D ，解得D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5.(3分) 所以圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －8y －5＝0， 即(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分)(2)直线l 的方程化为(2x ＋y －8)＋m(x ＋2y －7)＝0.令⎩⎨⎧2x ＋y －8＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，所以直线l 过定点M(3，2)．(7分) 由圆的几何性质可知，当l ⊥CM 时，弦长|PQ|最短． 因为|CM|＝（3－2）2＋（2－4）2＝5， 则|PQ|min ＝2r 2－||CM 2＝225－5＝4 5.(10分)17．【解析】(1)因为A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥AC. 又AC ⊥AB ，则AC ⊥平面AA 1B 1B ，所以AC ⊥A 1B.(3分) 由已知，侧面AA 1B 1B 是正方形，则AB 1⊥A 1B. 因为AB 1∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C.(5分)(2)方法一：连结A 1C ，设AB 1∩A 1B ＝O ，连CO ，交A 1D 于G. 因为O 为A 1B 的中点，D 为BC 的中点，则G 为△A 1BC 的重心． 因为A 1O ⊥平面AB 1C ，则∠A 1GO 是A 1D 与平面AB 1C 所成的角．(8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝ 2. 得A 1O ＝22，A 1G ＝23A 1D ＝23×2sin 60°＝63.在Rt △A 1OG 中，sin ∠A 1GO ＝A 1O A 1G ＝32，则∠A 1GO ＝60°.所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°.(12分)方法二：分别取AB，B1B的中点E，F，连DE，EF，DF，则ED∥AC，EF∥AB1，所以平面DEF∥平面AB1C.因为A1B⊥平面AB1C，则A1B⊥平面DEF.设A1B与EF的交点为G，连DG，则∠A1DG是直线A1D与平面DEF所成的角. (8分)设AB＝AC＝AA1＝1，则A1B＝BC＝A1C＝ 2.得A1G＝34A1B＝324，A1D＝2sin 60°＝62.在Rt△A1GD中，sin∠A1DG＝A1GA1D＝32，则∠A1DG＝60°.所以直线A1D与平面AB1C所成的角为60°. (12分)第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．[0，2]【解析】M＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N＝[0，＋∞)，所以N∩∁RM＝[0，2]．19．B【解析】因为y＝f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称，则y＝f(x)的图象关于原点对称，即f(x)为奇函数．由f(t2－2t)＋f(－3)>0，得f(t2－2t)>－f(－3)＝f(3)，因为f(x)在R上是减函数，则t2－2t<3，即t2－2t－3<0，得－1＜t＜3.因为y＝t－1t－3＝1＋2t－3在区间(－1，3)上是减函数，则t－1t－3<12，选B.二、本大题共3个大题，共38分．20．【解析】(1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得SO⊥AC，又因为正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD,∵SD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SD. (6分)(2)在棱SC 上存在一点E ，使得BE ∥平面PAC.设正方形边长为a ，则SD ＝2a.由SD ⊥平面PAC 得PD ＝2a 4，故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.过点N 作PC 的平行线与SC 的交点为E ，连接BN ，在△BDN 中，易得BN ∥PO ，又因为NE ∥PC ，所以平面BEN ∥平面PAC ，所以BE ∥平面PAC.因为SN ∶NP ＝2∶1，所以SE ∶EC ＝2∶1. (12分)21．【解析】(1)由f(x)<5－m ，得mx 2－mx －1<5－m ，即m(x 2－x ＋1)<6.因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，则m<6x 2－x ＋1.(3分) 设h(x)＝6x 2－x ＋1，则当x ∈[1，3]时，m ＜h(x)恒成立． 因为y ＝x 2－x ＋1在区间[1，3]上是增函数，则h(x)在区间[1，3]上是减函数，h(x)min ＝h(3)＝67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. (6分) (2)因为f(x)＝mx(x －1)－1，则g(x)＝mx －1x －1. 当m ＝－14时，g(x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋1x －1.(7分) 设x 1>x 2>3，则g(x 1)－g(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14＋1x 1－1＝ x 24－x 14＋1x 2－1－1x 1－1＝x 2－x 14＋x 1－x 2（x 1－1）（x 2－1）＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1－1）（x 2－1）－14.(10分) 因为x 1－1>x 2－1>2，则(x 1－1)(x 2－1)>4，得1（x 1－1）（x 2－1）<14，又x 1－x 2>0，则g(x 1)－g(x 2)<0， 即g(x 1)<g(x 2)，所以g(x)在区间(3，＋∞)上是减函数．(13分)22．【解析】(1)由圆方程知，圆C 的圆心为C(a ，a ＋2)，半径为3.(2分)设圆心C 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 截得的弦长为2，则d 2＋1＝9，即d ＝2 2.(4分) 所以|a ＋（a ＋2）－4|2＝22，即|a －1|＝2，所以a ＝－1或a ＝3.(6分) (2)设点M(x ，y)，由|MA|＝2|MO|，得（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，即x 2＋y 2＋2x －3＝0.所以点M 在圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝4上．其圆心为D(－1，0)，半径为2.(8分)因为点M 在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，即1≤|CD|≤5.(9分)所以1≤（a ＋1）2＋（a ＋2）2≤5，即⎩⎨⎧a 2＋3a ＋2≥0，a 2＋3a －10≤0，即⎩⎨⎧（a ＋2）（a ＋1）≥0，（a －2）（a ＋5）≤0，(11分)解得⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥－1，－5≤a ≤2，即－5≤a ≤－2或－1≤a ≤2.故a 的取值范围是[－5，－2]∪[－1，2]．(13分)。