ˉ
11
10 en ( j ) 0.1( j ) 2 j 10K
ˉ
n(t ) 0.1sin(100t )
要求系统的稳态误差不大于0.001

10 K 0.1 2
10 (10K 0.1 2 ) j
ˉ

10 (10K 0.1 )
2 2 2
arctg
i 1 i 1
18
N
N
典型环节的幅相频率特性— Nyquist曲线
1 放大环节 K>0
传递函数 G( s) K 频率特性
Im
G( j) K
G ( j ) Ke
A( ) K
j00
K 0j
幅频特性和相频特性
0
0
Re
19
() 0
0
放大环节的幅相特性曲线
第五章 线性系统的频率分析法
分析自动控制系统，可以采用时域分析法，根轨 迹分析法，也可以利用系统的频率特性分析系统的性 能——频率分析法，又称频域响应法（图解法）。它 是分析和设计系统的一种有效经典方法。 1932年，Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的 开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的 方法。频率分析法用于通讯领域控制领域。 本章研究内容（ 12学时） 频率特性概念及表示法、典型环节的频率特性 绘制（ Nyquist图、 Bode图）、系统开环频率特性 的绘制、 Nyquist稳定判据、稳定裕度、频域指标。
1
频率分析法的特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元 部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环 频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直 观和计算量少的特点。 （3）用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳 态和噪声抑制三方面要求。 （4）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且 还适用于传递函数不是有理数的含滞后环节系统和 部分非线性控制系统的分析。 2
1
2
2
2
e
( arctg ) j 2

7
S S j
r (t ) 2 sin(t 300 )
1
2
2
2
e
arctg j 2
1
j
1 1 tg 1 1 j 26.6 2 j 1 e 0.45e j1 2 12 22
E (S )
B(S)
1 ( m l ) 2 i 1
G (S ) H (S )
C(S)
Ke G(S ) H (S ) S

TS
( S 1) (
i i 1 1 ( n h ) 2 j 1 j 2 j
l
2 i
S 2 i i S 1)
2 2
(T S 1) (T
幅频特性和相频特性
A( ) 1 T 2 2 1
( ) arctanT
T I ( ) 2 2 T 1
22
实频特性和虚频特性
1 R ( ) 2 2 1 T
幅相曲线为圆心在点（1/2,j0）上，半径为1/2的半园
Im 0
45

1 2 1 2 2 ( Re ) I m ( ) 2 2
干扰信号n(t)=0.1sin100t，要求系统的稳态误差不 大于0.001，试确定K值的可调范围
N(s) R(s) E(s) C(s)
E(s)=-C(s)
-
K
10 s(0.1s 1)
ˉ
10 E (s) s (0.1s 1) ˉ 10 en ( s) N ( s) 1 10K 0.1s 2 s 10K s(0.1s 1)
N i 1
[ Ai ( )]e
i 1
j[
i ( ) ]
i 1
N
幅频特性：A( ) Ai ( )， 相频特性： ( ) i ( )
N i 1
系统开环对数幅频特性
L() 20lg A() 20lg Ai ( ) Li ( )
0.001
(10 K 1000 ) 2 100 2 1000
K 2 200K 100 0
K 199 .5 或者0 K 0.505
13
频率特性、传递函数和微分方程 频率特性、传递函数和微分方程的关系
G( j) G(s) s j 描述等价的条件是什么？
5-1 频率特性(图说明)
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。 曲线如下:
结论
Ar=1 =0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。
=1
=2
=2.5
=4
3
相角延迟问题
AA
① 稳态输出 延迟于输入的 角度为： B = 360o A
css (t ) 2 0.45sin t 30 26.6 0.9 sin t 3.4
0 0



0

8
例题2 系统结构图如下图所示，确定在输入信号r(t) 作用下，系统的稳态误差ess(t)。
r (t ) sin(t 30o ) cos(2t 45o )
R(s) E(s)
j 2
Im
G( j ) j
G( j ) j e
0
幅频特性和相频特性
0
A( )
( )
2 与无关
0
微分环节的幅相特性曲线
Re
21
4 惯性环节
传递函数
1 G( s) Ts 1
1 1 j arctanT e 频率特性 G( j ) 2 2 Tj 1 T 1
0
A( ) T 1
2 2
0
1
一次微分环节 幅相特性曲线
Re
( ) arctan T
24
（6）振荡环节 传递函数：
2 n
T
1
n
0, 0 1
1 1 G( S )＝ 2 2 2 S 2 2 S T S 2 TS 1 S 2n S n ( n ) 2 ( n ) 1
2 积分环节
1 传递函数 G ( s) s
频率特性
1 1 G（j） e j
j
Im 0

2
Re
0
幅频特性和相频特性
A( ) 1
0
1 G ( j ) j

2 无无关
( )

积分环节的幅相特性曲线
20
3 微分环节
传递函数 频率特性
G(s) s
G( j) G(s) |s j
G( j ) C ( j ) R( j )
5
A() G( j) () G( j)
幅频特性：输出与输入的幅值比 相频特性：输出与输入的相角差
Ar sin(t)
G( j)
Ar | G( j) | sin(t G( j))
1
0.707
0 Re
1 G ( j ) Tj 1
惯性环节的幅相特性曲线
23
1 T
5 一次微分环节
传递函数 G ( s ) Ts 1 频率特性
Im
G( j ) jT 1
G( j ) Tj 1 T 2 2 1earctan T
幅频特性和相频特性
②该角度与输入信 号的初始角度无关
B B
A与B比值不变
4
稳定的线性系统：Css(t)输出与输入r(t)具有相同频率 的正弦信号
频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。
更为广泛的定义：输出量与输入量的傅立叶变换之比。
C ( j ) G ( j ) R ( j ) | C ( j ) | | G ( j ) | | R( j ) |
-
1 s 1
C(s)
E (S ) 1 e S R( S ) G(S ) 1
1 S 1 1 S 2 S 1 1
9
E (s) s j 1 1 e ( j ) R(s) s j2 2
r (t ) sin(t 30 ) cos(2t 45 )
频率特性：
G ( j ) 1 1
2 2 ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
25
G ( j )
2 2 ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
e
ess (t ) 0.1
10
(10K 1000 2 1002 ) 10 ess max 0.1 0.001 2 2 (10K 1000 100 )
sin[100t ( )]
12
ess max 0.1
10 (10K 1000 100 )
2 2
o o
1 j 1 e j 1 1j 2 2 j 1 e j 2 2j2
12 12 tg e 2 2 1 2
2 2
1 1 tg 1 1 1 2
j
0.63e
18.40 j
2 1 tg e 2 2 22
P d dt
微分方程
G (s )
传递函数 控制系统 频率特性
G ( j )
s j