可见： T[a1x1(n) a2x2 (n)] a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)]
故不是线性系统。
[例2] 判断系统 y(n) ax(n) b 是否是移不变系统。
其中a和b均为常数
解： T[x(n)] ax(n) b y(n) T[x(n m)] ax(n m) b y(n m)
T[a1x1(n) a2 x2 (n)] a1nx1(n) a2nx2 (n) a1 y1(n) a2 y2 (n) a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)]
故为线性系统。
（b) y(n) x(n2 ) y1(n) x1(n2 ) T[x1(n)], y2 (n） x2 (n2 ) T[x2 (n)]
[函数操作]
显然 T[x(n m)] y(n m)
故不是移不变系统。
例4. 判断下列系统是否为移不变系统。
(a) y(n) nx(n); (b) y(n) x(n) x(n 1); 解：（a）T[x(n)] nx(n) y(n) T[x(n m)] nx(n m) 系统操作 又： y(n m) (n m)x(n m) 函数操作
y (n)=T[ax1(n) ＋bx2(n)] = ay1(n) ＋by2(n) *加权信号和的响应=响应的加权和。
Time-invariant: 时不变特性 即 y(n-n0)=T[x(n-n0)]
习题1. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）
x(n) Acos( 3 n )
故是移不变系统。
一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这 完全由边界条件决定。例如：差分方程
y(n) ay(n 1) x(n)
（a) 边界条件 y(0) 0 时，是线性的但不是移不变的。 （b) 边界条件 y(1) 0 时，是线性移不变的。 （c) 边界条件 y(1) 1 时，既不是线性的也不是移不变的。
① y(n)的长度——Lx＋Lh－1
② 两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷 积之后是无限长序列
③ 卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再 进行卷积，但必须看清起点在哪里
4、系统的稳定性与因果性 系统 时域充要条件
Z域充要条件
因果 h(n)≡0 (n<0)
ROC: R1 <┃Z┃≤∞
稳定
∞ Σ ┃h(n)┃<∞ n=-∞
3. 判断系统是否是因果稳定系统。
Causal and Noncausal System（因果系统） causal system: (1) 响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n<0 （线性、时不变系统）
*实际系统一般是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统,因n< 0的输出决定 n>0时 的输入;
T[a1x1(n) a2 x2 (n)] a1x1(n2 ) a2 x2 (n2 ) a1 y1(n) a2 y2 (n) a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)]
故为线性系统。
(c) y(n) x2 (n) y1(n) x12 (n) T[x1(n)], y2 (n） x22 (n) T[x2 (n)]
X (e j )
x(n)e jn
n
Condition:
| x(n) |
n
注：周期序列不满足该绝对可和的条件，因此它的DTFT
不存在。
(IDTFT)序列傅立叶反变换
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
方法2：根据DTFT的性质求解（特别是对称性）
一般序列
x(n) xe(n) xo(n)
7、系统的分类 IIR和FIR 递归和非递归
例1. 判断下列系统是否为线性系统。
(a) y(n) nx(n); (b) y(n) x(n2 ); (c) y(n) x2 (n); (d) y(n) 3x(n) 5
解：(a) y(n) nx(n) y1(n) nx1(n) T[x1(n)], y2 (n） nx2 (n) T[x2 (n)]
故为移不变系统。
[例3] 判断系统y(n) x(n)sin(2 n 0.1 ) 是否是移不变系统。 解： T[x(n)] x(n) sin( 2n 0.1 ) y(n) T[x(n m)] x(n m) sin( 2n 0.1 )
[系统操作]
又： y(n m) x(n m) sin[ 2 (n m) 0.1 ]
显然 T[x(n m)] y(n m)
故不是移不变系统。
（b) y(n) x(n) x(n 1) T[x(n)] x(n) x(n 1) y(n) T[x(n m)] x(n m) x(n m 1)
又： y(n m) x(n m) x(n m 1)
显然 T[x(n m)] y(n m)
y3(2) ay3(1) (2) (1) a2 a y3(3) ay3(2) (3) (2) a3 a2
……..
y3 (n) an an1
所以： y3(n) anu(n) an1u(n) T[x1(n) x2 (n)]
y3(n) y1(n) y2 (n) T[x1(n)] T[x2 (n)] 因此为线性系统。
T[a1x1(n) a2 x2 (n)] [a1x1(n) a2 x2 (n)]2 a12 x12 (n) a22 x22 (n) 2a1a2 x1(n)x2 (n)
a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)] a1x12 (n) a2x22 (n)
可见：T[a1x1(n) a2x2 (n)] a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)]
由上述分析可知：
x1(n) (n) y1(n) anu(n) T[x1(n)] x2 (n) (n 1) y2 (n) an1u(n 1) T[x2 (n)]
又令：x3(n) (n) (n 1)
代入差分方程，得：
y3(0) ay3(1) (0) (0 1) 1
y3(1) ay3(0) (1) (0) a 1
数字信号处理课程 知识点概要
第1章 数字信号处理概念知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字 信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量）
2、数字信号的产生；
采样
量化、编码
模拟信号 ———— 离散时间信号 —————— 数字信号
3、典型数字信号处理系统的主要构成。
数字信号处理系统
模拟 信号
解：（b）y(1) 0的情况
令 x1(n) (n)
y(n) ay(n 1) x(n)
y1(0) ay1(1) (0) 1 y1(1) ay1(0) (1) a y1(2) ay1(1) (2) a2
….
y1(n) ay1(n 1) (n) an
所以： y1(n) anu(n)
故不是线性系统。
(d)
y(n) 3x(n) 5 y1(n) 3x1(n) 5 T[x1(n)], y2 (n） 3x2 (n) 5 T[x2 (n)] 即，系统操作为乘3加5。
T[a1x1(n) a2x2(n)] 3[a1x1(n) a2x2 (n)] 5
a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)] 3a1x1(n) 5a1 3a2x2 (n) 5a2
2、时不变系统：系统的参数不随时间而变化，不管 输入信号作用时间的先后，输出信号的响应的形状均 相同，仅是出现时间的不同
时不变系统 判别准则
若 y(n) T x(n)
则 T x(n n0 ) y(n n0 )
3、线性卷积
y(n) x(k)h(n k) x(n)* h(n) k x(n k)h(k) h(n)* x(n) k
ROC: 包含单位圆
5、差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系
N阶线性常系数差分方程的一般形式：
M
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
其中 ai、bi都是常数。
离散系统差分方程表示法有两个主要用途： ① 求解系统的瞬态响应； ② 由差分方程得到系统结构；
6、线性时不变离散时间系统的表示方法 线性常系数差分方程 单位脉冲响应 h(n) 系统函数 H(z) 频率响应 H(ejw) 零极点图（几何方法）
也就是 y(n) 领先于 x(n) ，故为非因果系统。
第2章回顾——要点与难点
1、Z变换 Z变换的定义、零极点、收敛域 逆Z变换（部分分式法） Z变换的性质及Parseval定理
2、离散时间傅里叶变换 DTFT的定义、性质 DTFT与Z变换的关系 DTFT存在的条件
3、DFT DFT定义，与Z变换的关系，DFT性质
n
(c) y(n) x(k) k
(d) y(n) x(n)
解：（a) 为因果系统，由定义可知。
（b）由于 y(n 1) 领先于 x(n) ，故为非因果系统。
n
(c) y(n) x(k) k 由于 y(n) 由目前和过去的输入所决定，故为
因果系统。
(d) y(n) x(n)
由于 n=-1时，有y（-1）=x(1)；
4、FFT 5、DFT的应用
2.1节知识点
1、DTFT的定义：
正变换：
X (e j )
x[n]e jn
n
反变换：
x[n]
1
X (e j )e jnd
2
离散时间信号的频域（频谱）为周期函数；。
方法1：根据定义式求解
(DTFT)序列傅立叶变换
又令x2(n) (n 1)
则：y2(0) ay2(1) (1) 0 y2(1) ay2(0) (0) 1 y2(2) ay2(1) (1) a
….
y2 (n) ay2 (n 1) (n 1) an1
所以： y2 (n) an1u(n 1)