:6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法|（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；，旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：-（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
》【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中，AE=AD∠A=∠AAB=AC.∴ΔACD≌ΔABE (SAS)*∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）又∵ AD=AE,AB=AC.∴ AB－AD=AC－AE即 BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∠B=∠C∠BFD=∠CFE（对顶角相等）BD=CE∴ΔDBF≌ΔECF （AAS）∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）。
（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，-AF=CE （已知）∠DEC ＝∠BFA （已证） DE=BF （已知）∴ ΔABF ≌ΔCDE （SAS ）∴ ∠C ＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE. 求证：CD=2CE分析：。
(ⅰ)折半法：取CD 中点F ，连接BF ，再证ΔCEB ≌ΔCFB.这里注意利用BF 是ΔACD 中位线这个条件。
证明：取CD 中点F ，连接BF∴ BF=12AC,且BF ∥AC （三角形中位线定理）∴ ∠ACB ＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC∴ ∠ACB ＝∠3 （等边对等角） ∴ ∠3＝∠2在ΔCEB 与ΔCFB 中，?BF=BE ∠3＝∠2 CB=CB∴ ΔCEB ≌ΔCFB (SAS)∴ CE=CF=12 CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （ⅱ）加倍法证明：延长CE 到F ，使EF=CE ，连BF.在ΔAEC与ΔBEF中，(AE=BE∠1＝∠2 （对顶角相等）CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）|在ΔCFB与ΔCDB中，CB=CB∠CBF=∠CBDBF=BD∴ΔCFB≌ΔCDB (SAS)∴ CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。
例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何证明你的结论。
:C BA OED 分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。
通过观察，可以猜测：AO=BC ，AO ⊥BC.证明：延长AO 交BC 于E,在ΔADO 和ΔCDB 中AD=DC∠ADO=∠CDB=90o OD=DB∴ ΔADO ≌ΔCDB (SAS)∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD （全等三角形对应边、对应角相等） ∵ ∠AOD ＝∠COE （对顶角相等）∴ ∠COE+∠OCE=90o^∴ AO ⊥BC5、中考点拨：例1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使DF ＝DE ，连结FC ． 求证：∠F ＝∠A ．分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A 、∠F 不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF ∥AC ，因此把∠A 通过同位角转到△BDE 中的∠BED ，只要证△EBD ≌△FCD 即可．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ACB＝∠B，。
∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，~∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。
例2 如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。
证明：过D点作DF∥AC交BE于F点[∵△ ABC为等边三角形∴△BFD为等边三角形∴ BF=BD=FD∵ AE=BD∴ AE=BF=FD∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB∴ EF=AC在△ ACE和△DFE中，《EF=AC（已证）∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等)AE=FD (已证)∴△AEC≌△FED（SAS）∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE ＝BE问题便可以解决．~证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，@∴AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等《（D ）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．3. 如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F 点，BM和CN交于E点。
求证：CEF是等边三角形。
A BCMNEF12) 4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<12(AB+AC)5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF ⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．`【试题答案】1. D2.证明：∵AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。
—∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3.分析由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明CEF 是等腰三角形。
先证CAN≌MCB，得1= 2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF是等边三角形的结论。
证明：在CAN和MCB，∵AC=MC，CN=CB，CAN=MCB=120，∴ACN≌MCB中，【∴FCB和CEB中，∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，∴CFN≌CEB，∴CF=CE，又∵ECF=60，∴CEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD 至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE在ACD与EBD中∴ACD≌EBD（SAS）∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。