山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号11
函数奇偶性
【学习目标】1.会用定义判断奇偶性；2、应用函数的奇偶性解决相关问题
【学习重点】 应用函数的奇偶性解决相关问题
【学习难点】 应用函数的奇偶性解决相关问题
【学习过程】
（一）知识梳理
一.奇偶函数的定义
如果对于函数)(x f 的定义域内 x ,都有 ，那么函数)(x f 是偶函数. 如果对于函数)(x f 的定义域内 x ,都有 ，那么函数)(x f 是奇函数. 既奇又偶的函数解析式的特点是 .
二.奇偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 .
2.在公共定义域内:
（1）两个奇函数的和函数是 函数，两个奇函数的积函数是 函数；
（2）两个偶函数的和函数、积函数是 函数；
（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是 函数.
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用.
3.若是奇函数)(x f 且在0=x 处有定义，则=)0(f .
4.对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的 条件；
5.整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
6.可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
7.等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f .
)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f .
8.奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称.
（二）巩固练习
1.在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f
A.在[]1,2--上是增函数，[]4,3上是增函数
B.在[]1,2--上是增函数，[]4,3上是减函数
C.在[]1,2--上是减函数，[]4,3上是增函数
D.在[]1,2--上是减函数，[]4,3上是减函数
2.定义在R 上的的函数)(x f ，对任意R x ∈都有)(x f ＋)(x f -＝1，则此函数图象
A ．关于原点对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于点),0(2
1对称 D ．关于点)1,0(对称 3.设偶函数()f x 满足()3
8(0)f x x x ≥＝－，则{|(2)0}x f x >－＝ A.{|24}x x x <>－或 B.{|04}x x x <>或
C.{|06}x x x <>或
D.{|22}x x x <>－或
4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．以上均不对
5.已知函数)1(+=x f y 是奇函数，)1(-=x f y 是偶函数，且2)1(=-f ，1)0(=f ，则+++)3()2()1(f f f ………)2013(f +=
A.4
B.-4
C.3
D.3-
6.对于函数()sin f x a x bx c ＝＋＋ (其中，a b c ∈∈R Z ，，)，选取a b c ，，的一组值计算()1(1)f f 和－,所得的正确结果一定不可能是
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
7.已知函数()f x 满足()()f x f x π＝－,且当x (-,)22
ππ∈时,()sin f x x x ＝＋，则
A.()()()120f f f <<
B.()()()201f f f <<
C.()()()021f f f << D ．()()()012f f f <<
8.已知函数()f x 为R 上的奇函数,当0x ≥时，()(1)f x x x ＝＋．若()2f a ＝－， 则实数a ＝_ __.
9.设函数(1)()()x x a f x x
++=
为奇函数，则a = ． 10.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b += ． 11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()(3)1(2)2f x f x f ＋＝－，－＝，则()2012f
＝_______.
12.已知函数()sin 5f x x x ＝＋，(1,1)x ∈－，如果2
(1)(1)0f a f a <－＋－，则实数a 的取值范围是________．
13.判断下列各函数的奇偶性
（1）2)2(6)1(2)(3+++-=x x x x f （2）2211)(x x x f -+-=
（3）221)(2---=x x x f （4）22(0)()(0)x x x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩
14.已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数，(1)求实数m 的值；
(2)若函数)(x f 在区间[12]a －，－上单调递增，求实数a 的取值范围．。