果对于任意给定的正数 M （不论它多么大），总存在正数 δ （或正数 X ），只要 x 适合不等 式 0 < x − x0 < δ （或 x > X ），对应的函数值 f (x) 总满足不等式
f (x) > M
则称函数 f (x) 为当 x → x0 （或 x → ∞ ）时的无穷大． 例 4：下列叙述正确的是： ②
x→0−
x→0
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、若 lim f ′(x) = A,(A ≠ 0,可以取∞）, 则 lim f (x) = ∞
x→+∞
x→+∞
若 lim f ′(x) = A ≠ 0 ，不妨设 A > 0 ，则 ∃X > 0, x ≥ X时，f ′(x) > A ，再由微分中值定
x→+∞
四、如果 lim f (x) = 0 不能推出 lim 1 = ∞
x→ x0
x→x0 f (x)
例
6：
x f (x) =
0
x为有理数 x为无理数
，则
lim
x→ x0
f
(x) = 0 ，但由于
1 f (x)
在x
= 0 的任一邻域的无理
点均没有定义，故无法讨论 1 在 x = 0 的极限． f (x)
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条 件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。 （2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换
例 8：求极限 lim 1 + x + 1 − x − 2
x→0
x2
分析一：若将 1+ x + 1− x − 2 写成 ( 1 + x −1) + ( 1 − x −1) ，再用等价无穷小替换就
①
如果
f
(x) 在
x0
某邻域内无界，则
lim
x→ x0
f
(x)
=∞
②
如果 lim x→ x0
f
(x)
=
∞ ，则
f
(x) 在
x0 某邻域内无界
解析：举反例说明．设
f (x) = 1 sin 1 xx
，令
xn
=
1 2nπ +
π
, yn
=
1 nπ
,
， 当 n → +∞
时，
2
xn → 0, yn → 0 ，而
=
0得
lim
n→∞
yn
=
a
．所以选项
A．
二、无界与无穷大
无界：设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在正数 M ，使得
f (x) ≤ M
∀x ∈ X ⊂ D
则称函数 f (x) 在 X 上有界，如果这样的 M 不存在，就成函数 f (x) 在 X 上无界；也就是说
如果对于任何正数 M ，总存在 x1 ∈ X ，使 f (x1) > M ，那么函数 f (x) 在 X 上无界． 无穷大：设函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如
当 x → x0 （或 x → ∞ ）时的无穷大的函数 f (x) ，按函数极限定义来说，极限是不存在 的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不
代表其极限是无穷大．
例
5：函数
f
(x)
=
x
−
1
0
x +1
x<0 x=0 x>0
，当 x → 0 时 f (x) 的极限不存在．
x→+∞
第八章 多元函数微分法及其应用
8.1 多元函数的基本概念
1. ∀ε f 0 , ∃δ1,δ2 f 0 , 使 得 当 x − x0 p δ1 , y − y0 p δ2 且 (x,y)≠(x0,y0) 时 , 有 f (x, y) − A p ε ,那么 lim f (x, y) = A 成立了吗?
lim
n→+∞
f
( xn
)
=
lim (2nπ
n→+∞
+
π 2
)
=
+∞
lim
n→+∞
f
( yn )
=
0
故 f (x) 在 x = 0 邻域无界，但 x → 0 时 f (x) 不是无穷大量，则①不正确．
由定义，无穷大必无界，故②正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
三、函数极限不存在 ≠ 极限是无穷大
如果 (x, y) ≠ (x0, y0 ) 条件没有,说明 f (x0, y0 ) 有定义,并且 (x0 , y0 ) 包含在该点的任何邻
域 内 , 由 此 对 ∀ε f 0 , 都 有 f (x, y) − A p ε , 从 而 A = f (x0, y0 ) , 因 此 我 们 得 到
结论均不一定成立。
第二章 导数与微分
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续，连续不一定可导。 例 11． f (x) = x 在 x = 0 连读，在 x = 0 处不可导。 二、 f (x) 与 f (x) 可导性的关系 （1）设 f (x0 ) ≠ 0 ， f (x) 在 x = x0 连续，则 f (x) 在 x = x0 可导是 f (x) 在 x = x0 可导的 充要条件。 （2）设 f (x0 ) = 0 ，则 f ′(x0 ) = 0 是 f (x) 在 x = x0 可导的充要条件。 三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论 设 F (x) = g(x)ϕ(x) ，ϕ(x) 在 x = a 连续，但不可导，又 g′(a) 存在，则 g(a) = 0 是 F (x) 在 x = a 可导的充要条件。
第一章：函数与极限
一、数列极限大小的判断
例 1：判断命题是否正确．
若
xn
<
yn (n
>
N)
，且序列
xn ,
yn
的极限存在，
lim
n→∞
xn
=
A, lim n→∞
yn
=
B,则A
<
B
解答：不正确．在题设下只能保证
A
≤
B
，不能保证
A
<
B
．例如：
xn
=
1 n
,
yn
=
1， n +1
xn
<
yn ,∀n
，而
lim
解：本题切忌将 sin x 用 x 等价代换，导致结果为 1。
lim sin x = sinπ = 0
x→π x
π
七、函数连续性的判断
（1）设 f (x) 在 x = x0 间断， g(x) 在 x = x0 连续，则 f (x) ± g(x) 在 x = x0 间断。而 f (x) ⋅ g(x), f 2 (x), f (x) 在 x = x0 可能连续。
2
理
f (x) = f ( X ) + f ′(ξ )(x − X )
(x > X ,ξ ∈ ( X , x))
⇒ f (x) ≥ f (X ) + A (x − X ) 2
(x > X )
⇒ lim f (x) = +∞ x→+∞
同理，当 A < 0 时， lim f (x) = −∞ x→+∞ 若 lim f ′(x) = +∞,⇒ ∃X > 0, x ≥ X时，f ′(x) >1 ，再由微分中值定理 x→+∞
例 10．设 f (x) = 0 x ≠ 0 ， g(x) = sin x ，则 f (x) 在 x = 0 间断， g(x) 在 x = 0 连续， 1 x = 0
f (x) ⋅ g(x) = f (x) ⋅ sin x = 0 在 x = 0 连续。
若设
f
(x)
=
1
x ≥ 0 ， f (x) 在 x = 0 间断，但 f 2 (x) = f (x) ≡ 1 在 x = 0 均连续。
（2）如果
f
(x)
在 (a,b) 内连续，x0
∈ (a,b) ，且设
lim
x→ x0 +
f
′( x)
=
lim
x→ x0 −
f
′( x)
=
m,
则
f
(x)
在
x = x0 处必可导且 f ′(x0 ) = m 。
若没有如果 f (x) 在 (a,b) 内连续的条件，即设 lim f ′(x) = lim f ′(x) = a ，则得不到任
结论：如果
lim
x→ x0
f (x) = 0
，且
f (x)
在
x0
的某一去心邻域内满足
f (x) ≠ 0
，则
lim 1 = ∞ ．反之， f (x) 为无穷大，则 1 为无穷小。
x→x0 f (x)
f (x)
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处
极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
分析：若 g(a) = 0 ，由定义
F′(a) = lim F (x) − F (a) = lim g(x)ϕ(x) − g(a)ϕ(a) = lim g(x) − g(a) ϕ(x) = g′(a)ϕ(a)
x→a x − a
x→a
x−a
x→a x − a
反之，若 F′(a) 存在，则必有 g(a) = 0 。用反证法，假设 g(a) ≠ 0 ，则由商的求导法则知