MB(y,)
yN
M是距离X空 的间 一个子M 集 是， 完称 全有界
如果 0,都存在 M的 着一个网 有。 穷
定1理 .3.（ 7Haus） dor为 ff了（完间 备X （ ） ,） 距中 离空
的集M是 合列紧的必） 须 M是 （完 且全 仅有 须界集
证
：
“”
（
反
证
）
若M不
是
完
全
有
界
集
，则ຫໍສະໝຸດ 使0得M中
设 M 是一个紧的 带距 有离 ， 距C 空 用 离 (M )表 间M 示 ， R1
的一切连续 定映 义射全体．
d(u,v)ma u(xx)v(x) (u,vC(M )) xM
命题 1.3.12(C(M),d)是一个距离空间
证：只须验u证C(M),存在最大m值axu(x) xM
由于对任意点 yn 列u(M),xn M,使得u(xn) yn， 由于M是紧的，从而有x子 nk 列x0,由u是连续的，有 u(xnk ) u(x0)u(M). 令y0u(x0)，即得 ynk u(xnk ) y0,从而u(M)是紧集 .
对1 / k 网，yk M ,有{ xn（k1）}的子列{ xn（k）}，使得{ xn（k）} B( yk ,1 / k);
取子列{xk（k）}则 0,当n 2 / 时，
（xn
（n p
p）,
xn（n））
（xn
（n p
p）,
yn）
（yn ,
xn（n））
2/
2/
所以{ xk（k）}是一基本列，因此收敛
“ ”因为 F 是等度连续的，所以
0, , F , x1, x2
( x1 , x 2 ) 时， ( x1 ) ( x 2 ) / 3
因为 M 紧，所以 M 自列紧，所以 M 列紧，所以 M 完全有界
选取 M 上的有穷 网， N { x1 , x 2 , , x n }, 作映射 T : F R n T ( ( x1 ), ( x 2 ), , ( x n )) 记 F~ T ( F )
因为 F 一致有界，
，
M
1,(
(xi)
)2 1 / 2
( nM
)2 1 / 2
1
nM 1
所以 F~是 R n 上有界集，所以 F~是列紧集 , 所以 F~是完全有界的
所以 F~有有穷的 / 3 网， N （ / 3） {T 1 , T 2 , , T m }
下证
{ 1 , 2 , , m }是 F 的
没
有
有
穷
网
0
任 取x1 M , x2 M \ B( x1, 0 );
对{ x1，x2 } M，x3 M \ B( x1, 0 ) B( x2 , 0 );
n
对{ x1，x2
xn}
M，xn1
M
\
k 1
B( xk
,0
);
所 以 存 在 数 列{ xn } M， 且m, n, ( xm , xn ) 0 (m n)
基本概念：可分、紧
定理1.3.9：完全有界的距离 是空 可间 分的
定1理 .3.1： 1 设 X,（ ） 是 一 个 距了 离 M空 X是间 紧， 的为
必 须 且 仅 须集 它 是 自 列 紧
证 ： “” （ 1） 证M是 闭 的 ，X即证 M是 开 的
任
取x0
XM,xM,令B(x,
(x0,
2
x)),则MB(x,
这蕴含u着(M)是有界闭的数 . 设 集minu(M) , maxu(M) , 由闭性推出, u(M).所以存在最大ma值xu(x)
xM
命题 1.3.13(C(M),d)是完备的
略证： 1.1.7仿 .须证任意柯. 西列收敛 设{un}是 柯 西d(列 un,u， m)m xMauxn(x)um(x) 0 则u(x)ln i m un(x)
FC(M).称它是一致有界的，如果M1>0，使得
(x) M1(xM,F); 称它是等度连续的如果0,0,使得 (x1)(x2) (x1,x2M,(x1,x2),F)
定1理 .3.1（ 5Arz eA lasc） ol为 i F 了 C(M)是一个列
必须且 F是 仅一 须致有界的 且函 等数 度族 连续
且{ xn }不含收敛子列，与M列紧矛盾，从而M是完全有界集
定1理 .3.（ 7Haus） dor为 ff了（完间 备X （ ） ,） 距中 离空
的集M是 合列紧的必） 须 M是 （完 且全 仅有 须界集
“”若{xn }是M中的无穷点列，欲证存在收敛子列 因 为M是 完 全 有 界 集
对1 网，y1 M ,有{ xn }的子列{ xn（1）}，使得{ xn（1）} B( y1,1); 对1 / 2 网，y2 M ,有{ xn（1）}的子列{ xn（2）}，使得{ xn（2）} B( y2 ,1 / 2);
命 题 ： 列 紧 空（ 间闭 内） 任子 意集 都列 是紧 （集 自
命 题 ： 列 紧 空 间 必 是 完备 空 间
M 是距离 X的 空 一 间 个 子 0,N集 M ，
• 如果 x M 对 , y N ,于 使 （ x 得 ,y ) , 那N 么 是 M 的 称 网 一个
•如果 N还是一个有穷集 依（ 赖个 于 ） , 数 那 么N称 是M的 一 个 有 网穷
yNn
由 假 设 n,， ynNn,使 得 B(yn,1/n)不 能 被 有 B覆 限盖 个
对{yn}，由于 M是自列紧集，所以{y存 n}的在收敛子{列 ynk } 使得ynk y0，必存在某G个 0 ,使得y0 G0
所以 0，使得 B(y0,)G0 ,取k足够大，使nk得2/ 且(ynk , y0)2/,所以xB(ynk ,1/nk) (x, y0)(x, ynk )(ynk , y0)1/nk 2/ 所以xB(y0,),所以B(ynk ,1/nk)B(y0,)G0 ,与假设矛盾
度量空间
列紧集
列紧集
A是距离空间X的一个子集，
• 称A是有界的，如果A包含在X的某点的开 球中；
• 称A是列紧的，如果A中任意点列在X中有 一个收敛的子列；
• 称A是自列紧的，如果上述子列的极限点 在A中；
• 称X为列紧空间，如果X是列紧的。
命题：在 Rn中任意有界集是列， 紧集 任意有界闭集是自集 列紧
(x0,
2
x) )
由
于M紧
，
所
以
可
取x有 k(k限 1,个 2,,n),使
n
得M B(xk, k1
(x0,
2
xk))
令
mi n(x0,
1kn
2
x),xB(x0,)
(x,xk)(xk,x0)(x,x0)2
所 以B，(x0,)M为 空 集 ，M 从的而余 集 为 开 集M，闭从集而
（2） 证 M是 列 紧（ . 的反 证 ） M不 若是 列 紧 的 ，{则 xn}存 没在 有 收 敛 子 列
假 定 xn互 异 ，S作 n {x1, x2,, xn1, xn1,},则Sn是 闭 集X， Sn是 开 集
（X\ Sn） X\Sn X M,从 而 {X\ Sn}是M的 一 个 开 覆 盖
N
N
由 于 M紧 ， 从N 而,使 得 M （X\ Sn） X\ Sn
n1
n1
N
N
对xn1,显 然 xn1 M,但xn1 Sn， 从 x而 n1 X\ Sn， 矛 盾
网
.
，
使得
i
n (T ,T i )
/3
取 x r N 满足 ( x , x r ) , 则
(x) i(x) (x) (xi) (xi) i(xr ) i(xr ) i(x)
(T ,T i ) 2 / 3 所以 F 上存在有穷 网，所以 F 列紧
n1
n1
从 而 M是 列 紧 的 ，M所 是以 自 列 紧 的
“” （ 反 证M ）自由列于紧 ， M列 所紧 以，M 所 完以 全 有 界 假定存 M的 在某个开 覆 B 盖M不能取 M的 出有限覆盖 由于 M完全有界 ， n所 N,以 有穷 1/n网Nn {x1(n),x2(n),xk(n(n))} 显然 B(y,1/n)M
使得 F， i, 使得 d ( , i ) / 3(i 1,2, , n)
同时对
，由
i
C
(M
)是连续函数的集合知
， x1 , x2满足 ( x1 , x2 ) , 使得 i ( x1 ) i ( x2 ) / 3
( x1 ) ( x2 ) ( x1 ) i ( x1 ) i ( x1 ) i ( x2 ) i ( x2 ) ( x2 ) 2d ( , i ) / 3
证：因为 C ( M )是完备的，所以由 1.3.7，为了 F是列紧的 必须且仅须它是完全有 界的
“ ”完全有界集是有界集 ，从而 F一致有界，欲证 F等度连续
0, 要证 ( ), 使得 F有
( x1 ) ( x 2 ) (当 ( x1 , x 2 ) )
因为 F完全有界，所以存在有 穷 / 3 网 N ( / 3) { 1 , 2 , , n }