mvl
m(l)l
ml2
d
dt
MOz mgl sin
O φ0
φ
l
F
Mv
mg
第九章 质点的振动
动量矩定理 动量矩 力矩
从而可得
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
dLOz dt
M Oz
LOz
ml2
d
dt
,
MOz mgl sin
d (ml2 d ) mgl sin
dt dt
O φ0
φ
l
F
Mv
其通解为
x C1 cos0t C2 sin 0t
把上式对时间求导数，得
v x C10 sin 0t C20 cos0t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
x C1 cos0t C2 sin 0t
l0
OM
v x C10 sin 0t C20 cos0t
当 t=0时，质点的初坐标和初速度
F kx
式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。 因F 恒指向平衡位置O，故它可写成
Fx cx
于是，质点M的运动微分方程写成
l0
OM
(a)
M F
O
x
x
(b)
mx kx 或
x k x 0 m
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
引入参量
2 0
k m
则上式可写成标准形式
x
2
0
x
0
这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自 由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。
d ) d
将式(a)代入上式，得
J d2 kd 2
dt2
例 题 9-6
l
d
m
O
φ
Fk
mg
第九章 质点的振动
例题
振动
例 题 9-6
J
d2
dt 2
k d 2
上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由 振动微分方程
l
d
m
O
φ
Fk
mg
d2 kd2 0
( b)
dt 2 J
则此摆振系统的固有频率为
0 d
mg
化简即得单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
O φ0
φ
微小摆动中，φ 值始终很小，可以认为 sinφ ≈ φ，则
g 0
l
考虑初始条件：t = 0, 0, 0。得单摆的运动规律
l
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。
x
T
O
t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
二、自由振动的基本参数
x
T
（1）振幅和相角
O
t
由式（a）可见质点相对于振动中
心（平衡位置）的最大偏离
xmax A
x02
( x0
0
)2
x Asin( 0t ) （a）
W
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
解： 1. 并联情形。
设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ， 在W重力作用下作铅直平动，静变形
为λs ，有
W k1s k2s (k1 k2 )s
k1
k2
λs
W
k
λs
W
选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变形
下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有
自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如 图(a)所示的质量一弹簧系统。
l0
OM
(a)
M F
O
x
x
(b)
质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在 弹簧力维持下的运动，即为自由振动。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
一、自由振动的微分方程及其解
取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a ）所示。 当M的坐标是x时，弹簧作用于M的力F的大小表示成
s 1s 2s
k1 k2
W λ1 s+λ2 s
k
λs
W
选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形λs等于串 联的两弹簧静变形之和λ1 s+λ2 s。
由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是
1s
W k1
,
2s
W k2
,
s
W k
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
s 1s 2s
c1
s
W k
,
1s
W k1
,
得 W W W , k k1 k2
2s
W k2
11 1 ,
k k1 k2
c2
W λ1 s+λ2 s
串联弹簧的等效刚度系数为
k 1 k1k2 1 1 k1 k2 k1 k2
弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。
固有频率
k 1
k1k2
2 π m(k1 k2 )
第九章 质点的振动
c
λs
W
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
k1
O
k2
k1
1
1
O
k2
2
2
第九章 质点的振动
例题
v m
振动
例 题 9-3
提升重物系统中，钢丝绳的 横截面积S＝2.89 10－4 m2，材料 的弹性模量E＝200 GPa。重物的 质量m＝6000 kg，以匀速v＝0.25 m·s－1下降。当重物下降到l＝25 m时，钢丝绳上端突然被卡住， 求重物的振动规律。
恢复力。 ● 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比
的线性阻力。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。
质量一弹簧系统
简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。 m
k
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
l0 +δs
k
Fd OF
Fd cv
M
其中，c称为粘滞阻力系数（以
为kg单位）， s
表示质点在单位速度时，所受的阻力值，
其大小与介质和物体的形状等因素有关，
可由实验测定。式中负号表示阻力与速度
的方向恒相反。
Mv
G
x
第九章 质点的振动
§9-3 质点的衰减振动
W ks (k1 k2 )s
上式说明并联弹簧的等效刚度系数为
k k1 k2
固有频率
0
1 2π
k1 m 2π
k1 k2 m
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
2. 串联情形。
设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ， 在W重力作用下，两弹簧的总静变
形λs等于单个弹簧的静变形之和， 有
称为振幅。（ω0t+α）称为相角，而α称为初相角。 由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始
扰动 (
x0) ,有x0关。
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
（b）
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
（2）周期和频率
x
● 周期
每重复一次运动状态所需的时间间隔，
O
称为周期，并用T 表示。
(a)
M F
x x0,
v x0
O
x
x
令t=0且 x x0 和 x x0 ，就可以确定积分常数
(b)
C1 x0
和
C2
x0
0
这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是
x
x0
co00 sin 0t x0 cos0t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是
x
x0
cos0t
x0
0
sin
0t
x x00 sin 0t x0 cos0t
通常把上二式写成
x Asin( 0t )
x A0 cos(0t )
利用三角变换，可以确定
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
x
x0
cos0t
x0
0
sin
0t
x Asin( 0t )
有的变形，即静变形（如图a）。
l0
显然，由平衡条件G -F0=0有
mg ks
（1）
以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直
向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F
在轴x上的投影 Fx=-k( λs+x)（如图b）。
可得物块的运动微分方程
F0 O
M
G
xF
（a）
M xG
mx mg k(s x)
（b）
第九章 质点的振动
T
t
每隔一个周期T，相角应改变 ω0T=2π。因
此，周期可以表示成