设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。

问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。

点拨：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ， 故0024262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。

即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P2tan x x =+21cos x1(x =⋅【解题思路】先对t 的求导,再代t 的数值.解析:1551'()10,'(40)421010400f t f t t =⋅=∴==选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值. 【新题导练】.4. 设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且(0)6f '=，则k =A ．0B ．-1C ．3D ．-6 思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k 的方程求解. 解 :'()()(2)(3)f x x k x k x k =++-(2)(3)x x k x k +-()(3)x x k x k +-()(2)x x k x k ++故3'(0)6f k =- 又(0)6f '=,故1k =-5. 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f cb f b a f a ． 解析:'()()()()()()()f x x a x b x b xc x c x a =--+--+--代入即得0.. 6. 质量为10kg 的物体按2()34s t t t =++的规律作直线运动,动能212E mv =,则物体在运动4s 后的动能是解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J基础巩固训练 1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．解析: 2'()2f x x =+故(1)f '-=32. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3x π=处的导数值是.解析：'cos sin y x x x =-故填1326π- 3. 已知直线2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△面积最大时，P 点坐标为 .解析：为定值，△面积最大，只要P 到的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于的切线的切点，设P （）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上∴－2x ,∴y ′=－x 1,∵－21,∴－211-=x()3f x ax '∴=13a ∴≥- 1，(f x '∴0)0=，∴=--a a2所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--= [方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x . ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷） 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小值 点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数313y x x =+-有（ ）A. 极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C. 极小值－2，极大值2D. 极小值－1，极大值3解析：2333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,1x x ==-当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<∴ 1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.3．函数(x )－x ,在区间(0］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.0解析：y ′=x 1－1,令y ′=0,即1,在(0，e ］上列表如下： x (0,1) 1 (1) e y ′ + 0 － y 增函数 极大值－1 减函数 1－e由于f (e)=1－e,而－1＞1－e,从而y 最大(1)=－1. 答案：B4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.[解析],121)(a x xx f +-=',0)42(0)(,)(42121,0)(222>+-+⇔>'∴+<⇔+<⇔+>>'a x a x x f a x x a x x ax xx f 得令),1(164)42(,0)42(0)(,2222a a a a x a x x f -=--=∆<+-+⇔<' 同样（当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0， ∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）上为增函数；y=f '(x)bao yx例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20,垂足为B.铁路线上距离B 为100处有一原料供应站C,现要在铁路之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 【解题思路】由勾股定理建模.解析 ： 设之间的距离为x ,则2220+x x -100.如果公路运费为a 元,那么铁路运费为53a元.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为=y )100(53x a -a4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得y '53a-4002+x ax 4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得1x =152x 15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一驻点,所以1x =15是函数y 的极小值点,而且也是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于之间并且与B 相距15处时,运费最省.【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.解法一:设相同的时间内,生产第x (x ∈N *,1≤x ≤10)档次的产品利润y 最大. 2分 依题意,得［8+2(x －1)］［60－3(x －1)］ 4分=－6x 2+108378=－6(x －9)2+864(1≤x ≤10), 8分 显然,当9时864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分解法二:由上面解法得到－6x 2+108378.求导数,得y ′=－12108,令y ′=－12108=0,解得9.因9∈［1,10］只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例 3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边和上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .图2图1(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转90后得到，△CFE 为等腰直角三角形，∴ 四边形EFGH 是正方形.[解析] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)，a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122 ()24.02.02+-=x x a[]4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a .由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省. 答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省.【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨. 题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比） 【解题思路】如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与2r 成反比， 即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最 大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解析：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r +=31 / 31。