否化为与之等价的一个正交向量组 β , β , , β 呢?
1
2
m
答案是肯定的！
事实上,这个问题可以通过施密特正交化方法解决。 下面介绍施密特正交化方法。
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定理4.3
设α１，α２， ，αm是线性无关的向量组，则向量组
β１＝α１,
β2
=
α2
−
[α2 ,
[β1,
4. 2 正交向量组与正交矩阵
4.2.1 正交向量组 4.2.2 正交矩阵 4.2.3 本节小结与课外练习
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4.2.1 正交向量组
定 义 4.5 如 果 n 维 向 量 α 与 β 的 内 积 [α , β ] = 0 ，则称α 与 β 正交(orthogonal)。
其为标准正交向量组，简称标准正交组
α1
=
⎛ ⎜⎝
1 3
,
2 3
,
2 3
⎞′ ⎟⎠
α2
=
⎛ ⎜⎝
2 3
,
1 3
,−
2 3
⎞′ ⎟⎠
α3
=
⎛ ⎜⎝
2 3
,−
2 3
,
1 3
⎞′ ⎟⎠
可以验证， α1, α2 , α3 就是一个正交向量组
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在 Rn 中
ε1 =（1，0， , 0）′ ε2 =（0,1, ,0）′
(3, −5,1, −1)′
=
(5, 3,1,1)′
36
β3 =
α3
−
[α 3 , [β1,
β1 ] β1 ]
β1
−
[α3 [β2
, ,
β2 β2
] ]
β2
= (7, −3,5,5)′ − 36 (3, −5,1, −1)′ − 36 (5,3,1,1)′
36
36
= (−1, −1, 3, 5)′
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εn =（0,0, ,1）′
是标准正交组，称为基本向量组
α = (a1, a2 , an )′
α = a1ε1 + a2ε 2 + + anε n
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施密特正交化方法——问题得提出
由定理4.2知：任何正交向量组线性无关。
反之，任何一个线性无关的向量组α 1 ,α 2 , ,α m 能
αT 1
α1
=‖α
1
‖2≠0，从而必有
λ
1=
0
,
类似可证λ2 =0,…, λr =0。
于是,向量组α 1,α 2 , ,α r 线性无关。 证毕
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例 1（P88 例 4.7） 试证：如果矩阵 A 的列向量构成
正交向量组,则 AT A 是对角矩阵。
证明 设 A =（α 1 ,α 2 , ,α s ）满足
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
c11 c21
c12 ......c1n c22 ......c2 n
⎞ ⎟ ⎟
........................ ⎟
,
⎜
⎟
⎝ cn1 n ⎠
⎛ x1 ⎞
x
=
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜⎟ ⎝ xn ⎠
⎛ y1 ⎞
y
=
⎜ ⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟ ⎟
⎜⎟ ⎝ yn ⎠
把ξ1，ξ2正交化，即为所求，亦即取
α
2＝ξ1，α
3＝ξ
2
-
[ξ2，ξ1 ] [ξ1，ξ1 ]
ξ1
于是得
⎡1⎤
⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡−1⎤
α
2＝⎢⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1⎥⎦
，α3＝⎢⎢
1
⎥ ⎥
⎢⎣−1⎥⎦
-
1 2
⎢ ⎢ ⎢⎣
0
⎥ ⎥
−1⎥⎦
＝
1 2
⎢ ⎢ ⎢⎣
2
⎥ ⎥
−1⎥⎦
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可见正交变换y=Px不改变向量的内积。
由于向量的模、夹角和距离都是用内积表达，故这 三者在正交变换下也不改变。证毕
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例5（P91 例4.11） 验证平面旋转变换 x = x′ cosθ − y′sinθ y = x′sinθ + y′ cosθ
是正交变换。
transform)。
定理 4.5 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量 的模、夹角和距离。
证明 设 P 是 n 阶正交矩阵， x1, x2 ∈ n , 记 y1 = Px1, y2 = Px2 , 则
[ y1, y2 ] = y1T y2 = (Px1)T (Px2 ) = x1T (PT P)x2 = x1T x2 = [x1, x2 ]
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定理4.4 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 （P90） 向量构成标准正交组。
证明：设α1,α2 , ,αn是矩阵A列向量，则
⎡⎢α1′
⎤ ⎥
⇔ A是正交矩阵
A′A
=
⎢α
⎢
′
2
⎥ ⎥
[α1
,α
2
,
⎢⎥
⎢⎣⎢α
′
n
⎥ ⎥⎦
⎡1
⎢
,α
n
]
=
⎢ ⎢
⎢
⎣
易知，n 维零向量与任何 n 维向量正交。
若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向 量 都 正 交 ， 则 该 向 量 组 称 为 正 交 向 量 组 (orthogonal vectors)。
例如， α 1 = (1, 1, 1) T ， α 2 = (1, 0 , − 1) T ， α 3 = (1, − 2 , 1) T 就是一个正交向量组。
2
y
+
2z)
=
0
x=∓ 4 18
y=z=± 1 18
⎪ ⎨
1 (y − z) = 0
⎪2
⎪ x2 + y2 + z2 =1
⎪⎩
α = ±(− 4 , 1 , 1 )′
18 18 18
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思考题 现有标准正交组
α1
=
(1 3
,
2 3
,
2 )′ 3
α2 = (0,
1 ,− 2
1) 2
求三维向量α 使得矩阵 (α1 α2 α ) 为正交矩阵
解 α = (x, y, z)′ α1,α2 ,α 是标准正交组
α1′α = 0 α2α = 0 α = 1
⎧1 ⎪⎪ 3
(
x
+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α3 = (3 −2 −6)′
A
=
1 7
(α1
α2
α3 )
[α1,α2 ] = 0,[α1,α3 ] = 0,[α2 ,α3 ] = 0
α1 = α2 = α3 = 1
777
可见A的列向量构成标准正交组，因此A是正交矩阵
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线性变换、可逆变换和正交变换
设
C
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m
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例2（补充题） 用施密特法将向量组
α1 = (3, −5,1, −1)′ α2 = (−1,13, −1,3)′ α3 = (7, −3,5,5)
正交规范化。
解
取
β1
β2
===α(α−112,1−3,[[−αβ1,123,,)ββ′ −11]]−β712
β1 ]
β1 ]
β1
β3
=
α3
−
[α
[β
3 1
, ,
β1 β1
]
]
β
1
−
[α 3 ,
[β 2 ,
β β
2 2
]
]
β
2
[ ] [ ] [ ] βm
=
αm
−
αm , β1 [β1, β1]
β1
−
αm, [β2,
β2 β2 ]
β2
−
−
αm , βm−1 [βm−1, βm−1
]
βm−1
是正交向量组，且向量组 β1, , βl 与 α1, ,αl
等价，１≤ l ≤ m
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如果令
η i＝
1
β
β i （ i＝1,2,…,m）
i
则 η ,η , 12
α α η, 是与 m
,,
12
,α m 等价的标准正交向
量组。上述从线性无关组
α
α,
1
,
2
α, m
导出正交向量
组 β , β , , β 的过程称为施密特(Schmidt)正交化过程。