Σ Σ1
′x 2 + z ′y 2 dxdy = 1 + ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 dxdy dS = 1 + z 原式 = ∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
[ r 2 sin θ cos θ + r 2 (cos θ + sin θ )]rdr
=4
2 π 2a 4 2π (sin θ − 2
∫
cos 5 θ + cos 5 θ + sin θ cos 4 θ )dθ
y
64 = 2a 4 15
o
2a
x
或 ∫ ∫ ( xy + yz + zx )dS = 2 ∫ ∫ [ xy + ( x + y ) x 2 + y 2 ]dxdy
1. 若曲面Σ :
则
z = z( x, y)
′x 2 + z′y 2 dxdy; 1+ z
∫∫ f ( x , y , z )dS Σ = ∫∫ f [ x , y , z ( x , y )]
D xy
2. 若曲面 Σ： y = y( x, z)
则
∫∫
Σ
′ 2 + y′ 2dxdz f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x, y( x, z),z] 1 + yx z
∫∫ Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy = ∫∫(Pcosα+Qcosβ+ Rcosγ)dS
Σ Σ
方法三： 方法三：将对三个坐标面的积分转化到一 个坐标面. 个坐标面
说明：如果曲面Σ由方程z = z ( x, y ) 给出，当Σ取上 侧 时， 有 ： -z y -z x cosα = , cosβ = , 1 + zx2 + z y2 1 + zx2 + z y2
2π
1 3 r dr 0
2 1+ 2 π= π = + 2 2 2
.
π
利用对称性计算对面积的曲面积分
设f ( x, y, z ) 在闭区域D上连续 , I = ∫∫ f(x, y, z)dS
∑
1.若曲面∑关于x = 0对称,∑1 是∑的x ≥ 0的部分, 则 若曲面∑
(1)当f ( -x, y, z ) = -f ( x, y, z ) 时 , I = 0. (1)当
2
2
（ 0 ≤ z ≤ 1 ）.
Σ
z
依对称性知： 解 依对称性知：
抛物面z = x 2 + y 2关于 xoz, yoz面对称，
被积函数| xyz |也对称
y
x
有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，Σ 1为第一卦限部分曲面 ( 为第一卦限部分曲面)
2 2 其中 D′ = {( x , y ) | x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} xy
D′ xy
Σ
Σ1
利用极坐标
π
2 1
x = r cos t , y = r sin t ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= 4 ∫0 dt ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr
= 2 ∫0 sin 2tdt ∫0 r
2
π
1
5
1 + 4r dr 令u = 1+ 4r
2
2
1 5 u−1 2 = ∫1 u( ) du = 125 5 − 1 . 4 4 420
x y z 4 其中Σ 例1 求 ∫ ∫ ( z + 2 x + y )dS , 其中Σ为平面 + + = 1 2 3 4 3 Σ
在第一象限中的部分; 在第一象限中的部分; 4 解 Σ : z = 4 − 2x − y 3 x Dxy : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3(1 − ) 2 61 2 2 dxdy dS = 1 + z x + z y dxdy = 3 4 61 ∫ ∫ ( z + 2 x + 3 y)dS = ∫ ∫ 4 ⋅ 3 dxdy D Σ
z
1
z = 1− x − y
x
Σ4 Σ1 Σ
2
o
Dxy : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 − x
Σ3
1
y
1
dS = 1 + ( z′x )2 + ( z′y )2 dxdy = 3dxdy
∫∫ xyzdS = ∫∫ xy (1 - x - y ) ∑
Dxy
3dxdy
= 3 dx
1 ∫0
1− x ∫0
Σ Dyz
如果Σ由 y = y( z , x )给出, 则有
∫∫ Q( x, y, z)dzdx = ±∫∫ Q[x, y(z, x), z]dzdx
Σ Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例 7.
zdxdy + xdydz + ydzdx , 其中∑是柱面 x2+y2=1 其中∑ ∫∫
Σ
Σ
o
x 1
1
1 y
∫∫
D yz
1 − y dydz = ∫ dz ∫
2
3
0
0
1 − y 2 dy
2
= 3∫
1
0
3 1 − y dy = π. 4
(3) Σ可表示为： = 1 − x 2 可表示为： y (z, x)∈Dzx={(z, x)|0≤z≤3, 0≤x≤1}, 故 , ∈ , ≤≤ , ≤ ≤ ,
2
z
∫ ∫ ydzdx =
Σ
∫∫
Dzx
1 − x 2 dzdx
1
o
1 y
= ∫ dz ∫
0
3
1
0
1 − x 2 dx = 3 ∫
0
1 − x 2 dx
3 = π. 4
x 1
所以 ∫ ∫ zdxdy + xdydz + ydzdx
Σ
3 = π. 2
方法二：利用两类曲面积分之间的联系： 方法二：利用两类曲面积分之间的联系：
第二十二章
主要内容: 主要内容:
曲面积分
习 题 课
（一）对面积的曲面积分 （二）对坐标的曲面积分 （三）Gauss公式与斯托克斯公式 公式与斯托克斯公式
计算方法：一投、二代、 计算方法：一投、二代、三换 对面积的曲面积分的计算法: 一、对面积的曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
计算二重积分. 2.求出 3.计算二重积分 2.求出dS的表达式 3.计算二重积分.
计算曲面积分 例3： ：
∑ : x = 0, y = 0, z = 0, 及x + y + z = 1 所围立体的表面 .
∫∫ xyzdS , ∑
∑
解： ∑ = ∑ 1 + ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4
∑ 1 : x = 0, ∑ 2 : y = 0, ∑ 4 : x + y + z = 1, ∑ 3 : z = 0,
分解为Σ=Σ 解 将Σ分解为Σ=Σ1+Σ2, 其中 Σ1: z=1 , D1: =
2
z
x2+y2≤1, ,
2
dS=dxdy; = ;
Σ1
D
Σ2 : z = x + y
dS = 1 +
2 zx
D2: x2+y2≤1, ,
x
o
Σ2
y
+
2 z y dxdy
x2 y2 dxdy = 2dxdy = 1+ 2 + 2 2 2 x +y x +y
3 xy(1 − x − y )dy = . 120
说明： 说明：当S只取平 只取平 面x+y+z=1时,即为 时 即为 P.282 习题 习题1(4).
习题1 例4 (P.282 习题 (2)):
其中Σ 计算 ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dS , 其中Σ是:锥面 z =
Σ
x 2 + y2
及平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面; = 所围成的区域的整个边界曲面;
( x 2 + y 2 )dS = ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dS + ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dS ∫∫
Σ Σ1 Σ2
= ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dxdy + 2 ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
D1 D2
= ∫0 dθ ∫
2π
1 3 r dr 0
+ 2 ∫0 dθ ∫
Σ
被平面 z=0 及 z=3 所截得的第一卦限内的部分的前侧 = = 所截得的第一卦限内的部分的前侧.
解
(1). Σ在xOy面的投影为零, 故 面的投影为零, 面的投影为零
z
3
∫ ∫ zdxdy = 0
(2) Σ可表示为 x = 1 − y 2 (y, z)∈Dyz={(y, z)|0≤y≤1, 0≤z≤3}, , ∈ , ≤ ≤ , ≤≤ , 故 ∫ ∫ xdyz =
0 -2
+
z 2 dxdy y
y
x
x2 y2 dxdy = 1+ 2 + 2 2 2 x +y x +y