长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷出题人 ：王云峰 审题人：姜洋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.210sin 的值为（ ）A ．21 B . 23 C . 21- D . 23- 2.用二分法研究函数()331f x x x =+-零点的近似值，第一次计算()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点0x ∈_____，第二次应计算_______. 以上横线上应填的内容为（ ） A .()0 , 0.5，()0.25f B .()0 , 1，()0.25f C .()0.5 , 1，()0.75f D .()0 , 0.5，()0.125f 3.设a ，b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则|a +b |=( )A .3BC .2D4.已知集合}821|{<<=x x A ，集合}1log 0|{2<<=x x B ，则A B = （ ） A ．}31|{<<x x B . }21|{<<x x C . }32|{<<x x D . }20|{<<x x5.一扇形的中心角为 60，所在圆的半径为6 ，则它的面积是（ ） A ．π6 B . π3 C . π12 D . π96.若a , b 是两个平面向量，则下列命题中正确的是 ( ) A .若 ，则或B .若a 与 b 共线，则存在唯一实数λ，使C .若a ，则或D .若，则a 与b 共线 7.要得到)32cos(3π-=x y 的图象，只需将x y 2cos 3=的图象（ ）A ．右移3π个单位 B . 左移3π个单位 C .右移6π个单位 D . 左移6π个单位 8.给出函数()()()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩，则()2log 3f 等于（ ） A .238 B .111C .119D .124 9.若θ是△ABC 的一个内角，且81cos sin -=θθ，则cos sin θθ-的值为（ ） A ．23-B． C ．25- D ．25 10.已知O 为ABC ∆内一点，且2OA OC OB ++=0，则AOC ∆与ABC ∆的面积之比为( )A .1∶2B .1∶3C .2∶3D .1∶111.函数1ln )(2-++=a x x x f 在区间),1(e 内有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A .)0,(2e - B .)1,(2e - C .),1(e D .),1(2e12.已知函数213(),2()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，若函数()()x f x k g =-有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A .01k <<B .1k >C .314k << D .314k k >=或 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若2tan =α，则ααααcos sin cos sin +-的值为________________；14.函数)1(log 221-=x y 的单调递增区间是_____________________；15.向量 a =()2,3在向量b =()3,4-方向上的投影为_________；16.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则不等式()4log 0f x >的解集是__________.三.解答题：本题共6小题，17题10分,18-22每小题12分. 17.（本小题满分10分）已知函数21()log 1x f x x -=+ （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性.18.（本小题满分12分）已知点()1,2A -和向量a =()2,3（1）若向量AB与向量a 错误！未指定书签。

同向，且AB = B 错误！未指定书签。

的坐标；（2）若向量a 与向量b =()3,k -的夹角是钝角,求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象的一部分如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间及函数图象的对称轴．20.（本小题满分12分）已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |2=，|b |1=. （1）若a +b 与a －3b 垂直，求tan θ；（2）若x a +b 与3a －2b 平行，求实数x 并指出此时x a +b 与3a －2b 同向还是反向.21．（本小题满分12分）已知幂函数21(18)32()(1)m m f x m m x --=-+的图象与x 轴和y 轴都无交点.（1）求f x ()的解析式；（2）解不等式(1)(2)f x f x +>-.22．（本小题满分12分）已知()()2=sin 2cos 1f x x m x -+-，2[,]33x ππ∈-（1）当函数()f x 的最小值为1-时，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下求函数()f x 的最大值及相应的x 的值.长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷参考答案一、选择题二.填空题 13.13 14. (,1)-∞- 15. 65- 16. ()1,12,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三.解答题17.解：（1）函数应满足：101x x ->+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 解得：1x <-或1x > ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（5分） 所以函数的定义域为()(),11,-∞-+∞ . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）由（1）知定义域关于原点对称 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（7分）又122221111()log log log log ()1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分）所以函数是奇函数. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（10分）18.解：（1）设(),B x y ，则()1,2AB x y =-+，由已知得：()()()()22312201252x y x y --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 解得：54x y =⎧⎨=⎩或38x y =-⎧⎨=-⎩ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4分）当54x y =⎧⎨=⎩时，()()4,622,3AB == ，与a 同向， 当38x y =-⎧⎨=-⎩时，()()4,622,3AB =--=- ，与a 反向故()5,4B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）令a b 6302k k =-+<⇒< ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分） 当a 与b 共线时，92902k k +=⇒=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（11分） 所以a 与b 的夹角是钝角时，99,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分） 19.解：（1）由图象可知：2A = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1分）741234T T ππππ=-=⇒=，又22T ππωω==⇒= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（3分） 所以()()2sin 2f x x ϕ=+ 又772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭7713730,666623ππππππϕπϕϕϕ<<∴<+<⇒+=⇒= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（5分） 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得：51212k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数的增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分）令232122k x k x πππππ+=+⇒=+ 所以对称轴为()122k x k Z ππ=+∈. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分）20.解：（1）因为a +b 与a －3b 垂直.所以（a +b ）·（a －3b ）= a 2－2a ·b －3b 2=0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分）1422cos 30cos 4θθ-⨯-=⇒=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4分）[]0,,sin tan θπθθ∈∴== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）因为x a +b 与3a －2b 平行，所以存在R λ∈使得：（x a +b ）=λ（3a －2b ） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（8分） 又a 与b 不共线，故313,1222x x λλλ=⎧⇒=-=-⎨=-⎩ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（10分）因为102λ=-<，所以32x =-，此时x a +b 与3a －2b 是反向. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分） 21. 解：（1）由已知()f x 是幂函数，{}3110,1m m m -+=⇒∈± ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 又()f x 的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验1m =，此时4()f x x -=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）4()f x x -=是偶函数且在()0,+∞递减，所以要使得(1)(2)f x f x +>-只需12x x +<-，解得：12x <， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分） 又()f x 的定义域为{}0x x ≠，所以1x ≠-且2x ≠ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（11分） 综上，不等式的解集为}1,12x x x ⎧<≠-⎨⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分） 22.解：（1）()()()()22=1cos 2cos 1cos 2cos 1f x x m x x m x m --+-=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分）设cos t x =，21[,],,1332x t ππ⎡⎤∈-∴∈-⎢⎥⎣⎦()()()21=21,,12f x g t t mt m t ⎡⎤=+-+∈-⎢⎥⎣⎦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4分）对称轴t m =- ①当12m -≤-，即12m ≥时， ()()min 111=11248f x g m m m ⎛⎫-=--+=-⇒= ⎪⎝⎭，不合题意,舍去 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（5分） ②当1m -≥，即1m ≤-时()()()min =112111f x g m m m =+-+=-⇒=- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分）③当112m -<-<，即112m -<<时()()()22min =2110f x g m m m m m -=--+=-⇒=或1m =-（舍） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（7分）综上0m =或1m =- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（8分） （2）①0m =时，()()21=1,,12f x g t t t ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦可见()f x 的最大值为()10g =，此时10=⇒=cosx x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（10分） ②1m =-时，()()21=2,,12f x g t t t t ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦可见()f x 的最大值为1151244g ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，此时1223cosx x π=-⇒=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分）。