唯一解！
m
a
n
2）．取属于平面的点 e' d'
E D
d
e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例3：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
k● a a c 利用平面的积聚性求解 k
m' n
(m)
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法)
SV
QW b"
a"
PH
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)
B
a'
b

b

c 投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
铅垂面迹线表示法
P

PH

PH
（2）．正垂面
b QV a c A B c' a' b' a" c" a c b"
一、
1、用几何元素表示平面
平面的表示法
用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点； 一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图 形。
2、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在 它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
1、用几何元素表示平面
b a a b a c a a b c c b a a b c c
b"
a' a" c"
b"
a" c'
c'
c"
c
b
a
投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形
（3）．侧平面
c'
B b' a' A a b C c b"
b'
a'
b" a"
c"
a"
c'
c"
a b
c 投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形
3、属于平面的投影面平行线
1、属于一般位置平面的点和直线
1）．平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过 平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
2）．平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。
在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线 的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： 判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直 线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3
1）．取属于平面的直线 e'
F E D
f'
d'
d
e
f
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属 于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
平面上取任意直线
判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。 定 理 二 若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。

Q
C
b 投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
正垂面的迹线表示法
QV Q
QV
γ
α
（3）．侧垂面
b'
b"
c" β
S
B
SW b"
a' C c" a"
c'

b
c
a"
A
a 投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
1）． 取属于投影面垂直面的点和直线
b a e f
f a b e
2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面
b b
a
B P
A SV
a
B A S
a b PH
a
b
过一般位置直线AB 作铅垂面PH
过一般位置直线AB作 正垂面SV
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法) (n')
a k b
解法二
c a
b
c
d d a k b c a
d d c b
2、 特殊位置平面内的点和直线
1）．取属于投影面垂直面的点和直线
2）．过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3）．过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。 根据定理一 解法一
m a m b n c b n c a b d c
根据定理二 解法二
b c
d
a
a
有无数解。
有多少解？
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a m 10 b b n c c 有多少解？
侧垂面的迹线表示法
Z
V
S
Sw W
β
Sw
X
O
α
Y
Y
（1）．水平面
a b" b' c b"
a' A
b' c' B
a"
c"
a"
c" b a c
C
b a
c
投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形
（2）．正平面
b' a' b' B A C c b a
c
d
b
b
c
c
a
b d
2、 平面的迹线表示法
PV
PV
P
PH QV
PH QV
Q QH
QH
二、 各种位置平面的投影特性
1、投影面的垂直面 (1)．铅垂面 (2)．正垂面 (3)．侧垂面 2、投影面的平行面 (1)．水平面
(2)．正平面
(3)．侧平面 3、一般位置平面
（1）．铅垂面
P b' b" a" c' A a C PH c a c"
●
b c②b d k ● Nhomakorabeac
a b b
a
●
k
d
c 通过在面内作辅助线求解
[例题4] 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属 于该平面。
e'
d'
e
d
[例题5]
已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。 e'
e
[例题6] 已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD 的水平投影。 解法一
3、一般位置平面
b'
a'
b' B
b" a' c'
b" a" c"
A b
a" C c" c b c a
a
投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度
三、平面内的点和直线
1、属于一般位置平面的点和直线
2、特殊位置平面的点和直线