此时，称数列an收敛.
否则（即 n 时， an 不以任何常数为极限）,
称数列 an 发散。
7
说明：(1).
引例1中，圆的面积
S
lim
n
An
(2). 引例2中，剩余棒头的长度
1 2n
0,
(n )
8
观察上例中，数列的极限：
例2中,
1n
lim[1+ ] 1 ;
n
n
例3中,
lim1 1 ;
n
ln q
因此 , 取
N
1
ln ln
q
1
则当 n > N 时, 就有 qn1 0
故
lim qn1 0
n
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(三) 收敛数列的性质(补充内容)
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
几何解释(动态地看定义) :
(
a xN 1
)
xN2 a
(n N)
即 xn ( a, )
(n N)
只有有限个点 xn 落在 a 的 当n>邻N域时(,a 所有, a的点 )x之n 外都。落在 ( a , a ) 内。
lim
n
an
a的步骤，分三步：
第一步，给定任意正数ε；
第二步，由
寻找正整数N ，这是关键的一步；
第三步，按照定义的模式写出结论.
16
例7. 已知 证: 0, 欲使
证明
放大！
xn 0
(n
1 1) 2
1
n 1
只要 n 1 1. 取 N [1 1] 1,
则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
称为无穷数列，简称数列，简记为an
数列中的各个数称为数列的项， an称为通项。
数列 an 可以看成以正整数 n 为自变量的函数。
2
例1
111 1
1
, 2
, 4
, ,L, 8 16
2n , L
;
例2
3 2 54
1n
0, , , , , L , 1+ , L ;
2 3 45
n
例3 1, 1, 1, L ,1, 1, L ;
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一.
取 N
1
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
N
[
1
]1
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例8. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 . 证:
欲使
为什么限制， 可以限制吗？
xn 0
只要
即
亦即 n 1 ln .
第二章 极限与连续
§2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 变量的极限 §2.4 无穷大量与无穷小量 §2.5 极限的运算法则 §2.6 两个重要的极限 §2.7 利用等价无穷小量代换求极限 §2.8 函数的连续性
1
§2.1 数列的极限
第二章
(一) 数列
定义：由无穷多个数，构成的有序的一列数： a1, a2, a3,L , an ,L
则称数列 an 以 a 为极限.
(2) 当 n 充分大时， an a 任意小，则称数列
an 以 a 为极限.
(3) 0 ,当 n 充分大时， an a
则称数列 an 以 a 为极限.
(4) 0,
当 n > N 时, 总有
an a
则称数列an以 a 为极限.
10
定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n N 时, 就有
xn 1
希望找到N , 当 n N 时, 有 n (1)n 1
n
只要找到N , 当 n N 时, 有 1
n
希望找到N , 当 n N 时, 有
n
1
因此 , 取 N [ 1 ] 1 , 则当 n N 时, 就有
故
lim
n
xn
lim n
n
(1)n n
1
对问题进行等 价的转化
xn 1
14
例6. 已知
证明数列 的极限为1.
证2: 0 , 欲使
xn 1
n (1)n 1 n
取N [ 1 ] 1也可 ,
只要
n
1
因此 ,
取 N [1 ],
则当 n N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n1Biblioteka 15“ε－N”定义证明
这种数列称为常数数列。
例4 1, 1,1, L ,1n , L ;
例5 2, 4, 6, L , 2n , L
3
(二) 数列极限
1.数列极限的定性描述
引例1. 设有半径为 r 的圆 ,用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
11
几点注意 （1）定义中的常数 ε 具有二重性：即具有很小 正数的固定性，又具有随意小的任意性。因为它
是固定的正数，所以才能由 xn a 求得相应 的时刻 N，从而由 xn a 刻画 xn 与a 的接近
程度；又因为 ε 可以任意小，所以才能由
xn a 反映 xn 无限趋近于a 的变化趋势.
例4中, lim1n 不存在； n
当 n 时,数列 1n 没有固定变化趋势，发散。
例5中，lim2n 不存在。当 n 时,数列 2n n 的变化趋势为无限增大，发散。记 lim2n n
9
2、数列极限的定量描述
逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。
(1) 如果 n 无限增大时，an 无限趋近于常数 a
富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不
竭”.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来.
便得到数列
1 2n
当
n
无限增大时,
1 2n
无限逼近0
6
定义 设 an数列, a 实数。 如果n无限增大时， an 无限趋近于常数 a 则称数列 an 以 a
为极限，记作
lim
n
an
a
或
an a
(n )
4
我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出： “ 割之弥细 , 所失弥小，割之又割 , 以至于不可
割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
的重要极限思想
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引例２ 例1中的数列来源于我国一篇古典名著.公元
前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前
369－前286）在《庄子·天下篇》一书中有一段
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（2）ε 是首先给定的，N 是由 ε 确定的，有时 记作 N＝N（ε）.一般说来，ε 越小 N 就越大.由
于 N 是通过不等式 xn a 求得的，因而对应
于 ε 的 N 不是唯一的，关键是反映变化过程时 刻的 N 的存在性，而不是唯一性.
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例6. 已知
证明数列 的极限为1.
证: 由定义来证， 0 , 想要找到一自然数N ,