1、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
2、调和级数
1 发散.
n1 n
§7.2 正项级数敛散性的判别
• 一、正项级数的概念 • 二、比较判别法 • 三、比值判别法 • 四、*根值判别法
一、正项级数
定义 如果级数 un中各项均有un 0,这种级数称为正项级数.
n1
注：大多数常数项级数的敛散性判别问题，都可以归结 为正项级数的敛散性判别问题！
n1
n
例
判定级数
n1
n2
5n 1 2n
3
的收敛性.
5n 1
解
因为
lim
n
n2
2n 1
3
lim
n
5n2 n2 2n
n
3
n
5 1
lim n
n 1
3
5
1 2 n n2
而级数
1 发散,
n1 n
1
级数
5 n 发散.
n1
1
2
1 n
3 n2
例
判定级数
n1
n 3n2
1
的收敛性.
解 因为
1
p
1
1
1
1 n p1
1
1 p1
即Sn有上界,
则p 级数收敛.
P-级数的结论(记住!)
p
级
数
:
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
收敛 发散
级数
n1
1 n
和
n1
1 n2
均
为p
-
级数
n1
1 的特例！ np
1
n1 n
1 5
n n1 4
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 n (n2 1)
n1
{Sn
}无上界，lim n
S
n＝＋，lnim
S
n
不
存
在
，
n1
un发散。
例
设an 0, (n 1, 2,L
), 证明级数
an
n1 (1 a1 )(1 a2 )L
收敛. (1 an )
证明：显然，该级数为正项级数.
Q
Sn
a1 (1 a1 )
a2
(1 a1 )(1 a2 )
an (1 a1 )(1 a2 )L
复习
1、常数项级数敛散性判断：
1)计算部分和：sn u1 u2 un
2)计算极限lim n
sn
不存存在在，，则则uun收n发敛散
2、常数项级数发散的判断方法：
1)若
lim
n
un
0, 则 级 数
un发 散 。
2)若 un收敛， vn发散，则 (un vn )发散。
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
二、比较判别法
定理(比较判别法)设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2, ),
n1
n1
若 vn 收敛,则 un 收敛;反之,若 un 发散,则 vn 发散.
n1
n1
n1
n1
注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。
注：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系
从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不
正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛 部分和数列
{Sn }有上界.
分析
：
n1
un收敛，即
lim
n
S
n
存在
证：）Sn1 Sn un Sn 0 Sn
{Sn }是单调递增数列，而已知{Sn }有上界
根据单调有界数列必有极限：lim n
Sn存在。
）(考虑逆否命题：{Sn }无上界 un发散)
np
n1
aqn
.
例
判定级数
sin 1 的收敛性.
n1
n
1
解 因为
sin lim n 1, n 1
而级数
1 发散,
n1 n
n
级数 sin 1 发散.
n1
n
例 判定级数 ln(1 1 ) 的收敛性.
n1
n
ln(1 1 )
解 因为 lim
n 1,
n
1
而级数
1 发散,
n1 n
n
级数 ln(1 1 ) 发散.
解：
Q n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解： Q
1
1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n的敛散性.
解：
Q
n 2n
1
n
1 2
n
且
n1
1 2
满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论
推论
设 un和 vn都是正项级数 ,且存在常数c和自然数N ,
n1
n1
使得当n N时, 有un cvn ,则
（1）当 vn收敛时， un收敛;
n1
n1
（2）当 un发散时， vn发散.
n1
n1
判断 un的敛散性. n1
c 对欲求级数进行
缩小应缩小为发 n
且有
lim
n
un
n
l,则
(1)若0
l
,则级数
un与
同时收敛或发散
n
n1 n1
(2)若l 0, 且 n收敛,则 un收敛;
n1
n1
(3)若l , 且 n发散,则 un发散
n1
n1
一般是判断 un的敛散性, 选择合适的级数 vn使用该判别法.
n1
n1
调和级数
n1
1，p-级数
n
n1
1 ，几何级数
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
n1
解： Q
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
2
n4 1 n2
且
n1
2 n2
收敛,
所以原级数收敛.
三、比较判别法的极限形式
定理(比较判别法的极限形式)
设
n1
un与
n1
n均为正项级数,
n
3
lim
n
3n2 1 1
n n2
lim
n
3n2
1
3
n2
n2
lim
n
3n2
1
1 3
而级数
n1
1
3
n2
收敛,
级数
n1
n 3n2
1
收敛.
例
判定级数
n1
3n
1
n
的敛散性.
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
(1 an )
1
1
1
1
L L
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 )L (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )L (1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )L
(1 an )
1 {Sn }有界.
从而原级数收敛.
un
vn
散级数.
放大，缩小的方向
对欲求级数进行 放大应放大为收 敛级数.
敛散性已知的级数,如p级数， 几何级数，调和级数等.
例 讨论p 级数1
解
当
p
1,
1 np
1 2p 1,
n
11
1
3p
4p
L
np
L
y
则p 级数发散.
n1
n1p的(敛p散 性 0) .
当 p 1,
1 np
n dx x n1 p
1 y x p ( p 1)
111
1
Sn 1 2p 3p 4p L np
o
x
1 234
21
31
n1
1 1 x p dx 2 x p dx L n1 x p dx
1 2 dx
2 p 1 x p
1
n 1
1 xp
dx
1
1 1
p
1 x p1n 1 Nhomakorabea1 3 dx
3 p 2 x p