数学知识习题解答微积分初步习题解答1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸xey sin = ⑹x ey x100+=-xx x e e y xe y x x x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(')/()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 222/12212/12222⑹⑸⑷⑶⑵解：⑴2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。

问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：42643643647242102106)102102(102102)1051010(22--------⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯+-=x x x x x x x dxd dx h d dxd dxdh令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。

∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分⎰⎰++-dx x dxx xx)2()13(23⑵⑴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-++--+dxxdxdx xe xdx x dxe dxb ax dx dx x x dx e xx x b ax dx x x x xx xxln 222113)12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶解：33423142(31)3x x dx x dx xdx dx x x x c-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⑴2x 2321ln 233/23(2)2(2323ln 2x x x x dx x x x x dx dx x dx x ce dx e dx xdx x e c-+=+=+++=+-=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑵⑶ (sin cos )sin cos cos sin x x dx xdx xdx x x c -=-=--+⎰⎰⎰⑷22222111111122211221/2122313sin()sin()()cos()(2)()()sin cos sin (sin )sin x x dx x x x aax x xadx dx dx x arctgx c ax b dx ax b d ax b ax b ce dx e d x ec ax bd ax b c x xdx xd x x +-+++----==-=-++=++=-++=--=-+=++===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑸⑹⑺⑻⑼2222112221112242ln 12()(11)cos (1cos 2)sin 2(12)ln (ln )(ln )x x x x xc xe dx ed xe cxdx x dx x x c dx xd x x c---=--=-+=+=++==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑽4. 求下列定积分2214101/21ln 1/12/411/61/221101)(1)()cos 2(3sin )x x exx x x x dxe e dxdx e dxxdxdxx x dx+-+-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻解:322221/22252113311111445151105501/21/21/231/1)||(1)(1)(1)(1)|(1)arcsin |60xxx x x dx x dx dx x x e e dx e d e e e x --=-=-=-=--=-=-===︒⎰⎰⎰⎰⎰⎰π⑴⑵⑶221ln 11211222111/4/4/4111/6222/6/6111010/2212(1ln )(1ln )(1ln )| 1.5()(ln )|ln 2cos 2cos 2(2)sin 2||/445(3sin )3(1cos e eex xx x xx dx x d x x e dx e x e e xdx xd x x dx arctgx x x dx xdx πππππ++=++=+=+=+=-+======︒+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππ⑷⑸⑹⑺⑻/2/22318402)x dx ππππ=+⎰⎰/20/2/2/25.sin sin sin ,()sin xdx xdx xdx f x x ππππ--=⎰⎰⎰计算、以及并在的函数图形上用面积表示这些定积分。

解：1|cos sin 22/0=-=⎰ππx xdx⎰⎰--=-=2/2/02/0sin 1sin πππxdx xdx6．计算由y=3x 和y=x 2所围成的平面图形的面积。

解：如图所示，令3x=x 2,得两条曲线交点的x 坐标：x=0,3. 面积3322333102303()| 4.5A xdx x dx x x =-=-=⎰⎰7．求曲线y=x 2+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。

解：面积A22232281033(2)2(2)|x dx xdx x x x =+-=+-=⎰⎰8．一物体沿直线运动的速度为v=v 0+at,v 0和a 为常量，求物体在t 1至t 2时间内的位移。

解：位移S ⎰+=21)(0t t dt at v)()(|)(212221120221021t t a t t v at t v t t -+-=+=矢量8．二矢量如图所示A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积定义和正交分解法求B A ⋅。

解：直接用矢量标积定义：4)90cos(-=+-︒=⋅βαAB B A用正交分解法：∵A x =4cos α=3.6A y =4sin α=1.7,B x =5cos(90º+β)= - 5sin β= -3,B y =5sin(90º+β)=5cos β=4∴447.1)3(6.3-=⨯+-⨯=+=⋅y y x x B A B A B A9．的夹角。

与求已知B ,ˆ2ˆ2ˆ,ˆˆA k j iB j i A +-=+-=解：由标积定义AB BA B A B A AB B A⋅=∴=⋅),cos(),cos(，而︒=-==∴-=⋅=+-+==+-=-135),,),cos(3,32)2(1,21)1(2223322222B A B A B A B A 两矢量夹角（ 10．已B A k j i B A k j i B A与求，知,ˆˆ4ˆ4ˆˆ5ˆ3+-=--+=+的夹角。

解：将已知两式相加，可求得j iA ˆ5.0ˆ5.3+=；再将已知两式相减，可求得5.35.05.3.ˆˆ5.4ˆ5.022≈+=∴-+-=A kj i B，+-⨯=⋅≈-++-=)5.0(5.3,64.4)1(5.4)5.0(222B A B0.5×4.5=0.5。

︒≈≈=⋅24.88),(,0308.0),cos(B A B A ABB A夹角11．已知.,0A C C B B A C B A⨯=⨯=⨯=++求证证明：用已知等式分别叉乘=⨯+⨯+⨯A C A B A A C B A有,,,0 .0,0=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯C C C B C A B C B B B A其中，A C CB B AC C B B A A ⨯=⨯=⨯∴⨯⨯⨯均为零，,,12．计算以P (3,0,8)、Q (5,10,7)、R (0,2,-1)为顶点的三角形的面积。

解：据矢积定义，△PRQ 的面积A -=⨯=|,|21= =-=-+-k j i ,ˆ9ˆ2ˆ3 kj i ˆˆ10ˆ2-+. kj i kj i ˆ34ˆ21ˆ881102923ˆˆˆ--=---=⨯ 3.48,6.96342188||26.96222==∆∴=++=⨯A PRQ 面积13． 化简下面诸式解：⑴B C B A A B A C C C B A⨯+-+⨯+++⨯-+)()()(0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=B C B A A B A C C B C A⑵)ˆˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆk j i k k i j k j i ++⨯++⨯-+⨯ i k ij i k j k ˆ2ˆ2ˆˆˆˆˆˆ-=-+-+-= ⑶)()()()2(B A C B A C B A+⨯++-⨯+CA B C A C A B A B C B C A B A C B A B A C B A C A⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=+⨯++⨯+-⨯+-⨯=2)()()()(214．计算下面诸式解：⑴)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆi k j j i k k j i⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 3ˆˆˆˆˆˆ=⋅+⋅+⋅=j j k k i i⑵0)()(=⨯⋅=⨯⋅A A B A B A15．求证：)()])[()(C B A B C A B A⨯⋅-=⨯+⋅+ 证明：)])[()(B C A B A⨯+⋅+ji kji k)()()()()()()()()()()()(C B A B C A B B C B B A B C A A A B B C B B A B B C A B A A B C B A B B C B A A⨯⋅-=⨯⋅=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅=⨯+⨯⋅+⨯+⨯⋅= 16．.,ˆˆˆ)21(222dt A d dt A d t k j e i t A ，求已知-++=-解：j e i t k j e i t t t dt d dt A d ˆˆ4]ˆˆˆ)21[(2---=-++=j e i j e i t t t dtd dt A d ˆˆ4)ˆˆ4(22--+=-=17．已知j t i t B k t j t t ie A t ˆ3ˆ4,ˆˆ)4(ˆ323+=+--=-， )(B A dt d⋅求解：z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅2423231212)4(343tt e t t t t t e t t +-=--=--)31212()(242t t e t B A t dtd dtd +-=⋅-t t e t t t648)2(1232+--=-。