F0 0 (sin t sin t ) 0 2 k (1 )
(2 48)
可见：1）强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在
激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号
中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向 于零。 2 ）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅 就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。 3 ）因此实验中测定强迫振动振幅时，应该在经 过一段时间稳定以后再测量，否则可能测到的是两部分
《振动力学》
自由振动
B
F0 / k
(1 2 ) 2 (2 ) 2
0 x 0 2 x 0 2 ) x 18 ' ' x0 arctan 0 x0 x A (
单自由度系统的振动 d) 激振力频率0等于或接近于自由振动频率情形 引入ω –ω0 =2ε 考虑式（2-48），当 ε 很小时，则 F sin t x 0 cos t (2 50) 2 m 式（2-50）中ε很小，sinεt变化缓慢，周期2π/ε很大。式（2-50） 可看成周期为 2π/、可变振幅等于 ( F0 / 2 m )sin t 的振动。这种现 象称为拍，按图2-32中规律变化。拍的周期为π/ ε。
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之， 阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以品质因子 反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共 振时比较平稳，希望 Q值小些。式（2-45）提供了由试验估算系统阻尼比 的方法。 半功率点q1和q2 处的相位角由式（2-40） 估算如下： 21 2 (1 ) tan 1 1 2 2 1 1 1 (1 )
为求B和将x 2(t) 代入式（2-35）整理得
B F0 (k m ) (c0 )
2 2 0 2
(2 37)
令0/ =, 称为频率比，则 则（2-37）为 系统稳态响应
2 m0 02 c 2 2 , 0 2 0 2 k k
B
F0 / k (1 ) (2 )
2 2 2
(2 38)
x2 (t )
F0 / k (1 ) (2 )
2 2 2
sin(0t )
(2 39)
相位角
《振动力学》
arctan(
c0 2 ) arctan( ) 2 2 k m 1
(2 40)
7
单自由度系统的振动 系统的阻尼的存在，使系统的稳态响应在相位上比激振力之后角。 若没有阻尼，即 ζ=0，则=0，此时激振力与响应同相位。 强迫振动性质： 1）简谐激励下，稳态响应为简谐运动，其频率与激振频率 0 相 同。 2）稳态响应振幅B和相位差只决定于系统本身的物理性质和激振力 的振幅大小与频率，与初始条件无关； 3) 初始条件只影响系统的瞬态响应; 记B0=F0/k ，则
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
《振动力学》
图 2-27
5
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
cx kx 振动微分方程：mx
F0 sin 0t
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
（阻尼）自由振动 逐渐衰减
相对阻尼系数 ζ 对振幅的影响，从 幅频响应曲线可以看出阻尼在共振附近一
定范围内，对减小振幅有显著作用，增加
阻尼，振幅可以明显下降。
《振动力学》 11
单自由度系统的振动 在共振时，=1，振幅由式（2-41）知
Bmax B0 F 0 2 c
在离开共振稍远的范围，阻尼对减小振幅的 作用是不大的，尤其当0 >>时，阻尼对振 幅几乎没有什么作用。 ④.共振时的动力放大系数称为‚品质因子‛ 用符号Q表示。由式（2-42），当=1时 1 Q (2 44) 2 在频率比为=1的虚线两侧，曲线可以近似 地认为是对称的，作 Q / 2 的一条水平线与响应 图 2-29 曲线交于q1和q2两点，称为半功率点，其对应的频率比为 1和 2。对于半功 率点q1和q2 ，由式(2-42)与式（2-44）得
B B0 (1 ) (2 )
2 2 2
(2 41)
4) 影响稳态响应幅值因素有3个：B0、λ、ζ B0反映了激振力的影响，因此改变振幅方法之一是改变激振幅值。 反映激励频率的影响。 ζ反映阻尼的影响。 式（2-41）写为
《振动力学》 8
单自由度系统的振动

B 1 = B0 (1 2 )2 (2 )2 (2 42)
稳态响应
本节内容
瞬态响应
2016年1月10日 <<振动力学>>
6
单自由度系统的振动 其中x 1(t)为齐次方程通解，称为瞬态响应，在弱阻尼情况下
x1 (t ) et ( D1 cos ' t D2 sin ' t )
x 2(t)为特解，称为稳态响应，令其形式为 x2 (t ) B sin(0t ) (2 36)
《振动力学》 10
单自由度系统的振动 激振力频率 0 与系统固有频率 相等 时，称为共振。实际上当有阻尼作用时， 振幅最大不在0 = 处
= 0 = 1-2 2 <1
(2-43)
可见，响应的峰值出现在 0 比 略 小的地方。实际上，阻尼往往比较小，所
以一般以0 = 作为共振频率。
振动之和。 《振动力学》
17
单自由度系统的振动
c)一般初值响应
x 0 如果初始条件是t=0, x x0 , x
，由式（2-46），在简谐
激振力作用下系统初始阶段的响应为
x Aet sin( ' t ) B sin(0t )
其中
0 x 0 B sin B cos 2 x 0 B sin ) 2 ) (x ' '( x0 B sin ) 2016 arctan (2 49) 年1月10日 x0 x0 B sin B0 cos A (
《振动力学》
图 2-30
14
单自由度系统的振动 （2）系统初始阶段的响应 a) 响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) (2 46) Ae t sin( ' t ) B sin(0 t )
由两种不同频率和振幅的简谐运动叠 加而成的比较复杂的运动。
图 2-32
《振动力学》
19
单自由度系统的振动 当0接近时
实线表示某种情况下两种运动叠加的 结果。 虚线表示等幅运动。 经过一段时间后，实线逐渐与虚线相 重合而成为单纯的稳态振动。
2016年1月10日 《振动力学》
15
单自由度系统的振动
b) 积分常数特征
1 ）式（ 2-46 ）中的积分常数 A 、 虽 然仍由初始条件定，但在此情况下不能按 自由振动得到的积分常数直接代入； 2）强迫振动情况下，即使初位移和初 速度均为零，在响应中仍包含瞬态部分， 积分常数必须与稳态解一起考虑。 如无阻尼，将式（2-46）改写为
任意激振的响应
4
单自由度系统的振动
2-4 单自由度系统的强迫振动
• • • 简谐激励所引起的系统响应 周期激励所引起的系统响应 任意激励所引起的系统响应
F=F0 sin0 t
1.简谐激振力引起的强迫振动 （1）运动微分方程及求解 图2-27为单自由度系统受简谐激振力 的力学模型。简谐力F=F0 sin0 t,0为激振 频率，则系统运动微分方程为 cx kx F0 sin 0t mx (2 35) 上式坐标原点在静平衡位置。方程（2-35） 的解可表示为
第2章 单自由度系统的振动
李映辉
西交通大学
2015.09
声 明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。
• 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国
称为动力放大系数，是评估机械系统动态工作环境的重要指标之一。为了 分析系统的特性，以频率比为横坐标，为纵坐标、以阻尼比ζ 为参数画 出一组曲线，称为幅频响应曲线。 可见： ①.<<1时，即激振力频率0远小于 系统固有频率，无论阻尼的大小如 F B 何，动力放大系数 B 1，B k ，振幅 近似等于F0作用下的静位移，该区域振 幅 B 主要由弹簧常数k控制，故称为 ‚弹簧控制区‛。 ②.>>1时，即0 远大于时，无论 0 ，此时 阻尼大小如何，
铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。
2016年 年1 1 月 10 日 2016 月 10 日 《振动力学》 中国力学学会学术大会‘ 2005’ 22
单自由度系统振动
教学内容
运动方程建立 等效质量、等效刚度与等效阻尼 单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动
能量法
瑞利法
Q
《振动力学》
2

1 2 2

1 (1 2 ) (2 ) 2