浙江名校新高考联盟Z20联盟2020届第一次联考数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}
A x x x
B x x
=-+>=->，则()
R
C A B =
A.[1,0)(2,3]
- B.(2,3] C.(,0)(2,)
-∞+∞ D.(1,0)(2,3)
-
2. 已知双曲线
22
:1
93
x y
C-=，则C的离心率为
2
3. 已知,a b是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//
a b a
αββ
⊥⊥，则下列命题中正确的是 A.bα
⊥ B.//
bα C.αβ
⊥ D.//
αβ
4. 已知实数,x y满足
3
1
2(1)
x
x y
y x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤-
⎩
，则2x y
+的最大值为
A.11
B.10
C.6
D.4
5. 已知圆C的方程为22
(3)1
x y
-+=，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是
A.1
B.3
- C.5 D.7
-
6. 已知函数
2
|2|1,0
()
log ,0
x x
f x
x x
+-≤
⎧
=⎨
>
⎩
，若()1
f a≤，则实数a的取值范围是
A.(,4][2,)
-∞-+∞ B.[1,2]
- C.[4,0)(0,2]
- D.[4,2]
-
7. 已知函数()ln(||)cos
f x x x
=⋅，以下哪个是()
f x的图象
A. B.
C. D.
8. 在矩形ABCD中，4,3
AB AD
==E为边AD上的一点，
1
DE=，现将ABE
∆沿直线BE折成'A BE
∆，使得点'A
在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），
设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面
BCDE 所成的角分别为,αβ，则
A.βαθ<<
B.βθα<<
C.αθβ<<
D.αβθ<<
9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
10.已知数列{}n a 满足：1102
a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322
a <<
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.复数2
(1)1i z i
-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ，||z = . 12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ）,
则该几何体的体积为 cm 3，表面积为 cm 2.
13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则
0a = ，2a = .
14.在ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 分别在线段,BC AB 上，
36,60AC BC BD EDC ===∠=，则BE = ，
cos CED ∠= .
15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相 邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 （用数字作答）.
16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为12,k k ，则222111k k -= . 17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144
c a b =+，当,b c 得夹角取得最大值时，||a b -的值为 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14
分）已知函数2()cos cos f x x x x =.
第12题图
（1）求()3f π
的值； （2）若13()210f α=，(0,)3
πα∈，求cos α的值.
19.（本题满分15分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰
三角形，且90ABC ∠=，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=，平 面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点.
（1）求证：1BB CM ⊥；
（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值.
20.（本题满分15分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，
数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b +++=-+.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）令,N *n n n a c n b =
∈，证明：122n c c c +++<.
21.（本题满分15分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为其左右焦点，离心率12
e =，过F 作x 轴的 平行线交椭圆于,P Q
两点，PQ =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于
, B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ， BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，, KED FOD ∆∆的面积分别
记为12,S S ，若121849
S S =，且点A 在 第一象限，求点A 的坐标.
22.（本题满分15分）设a 为实常数，函数2(), (), R x f x ax g x e x ==∈.
（1）当12a e
=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设N*m ∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，
当(0,1]a ∈时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由.。