· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
5
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
6
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
7
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
8
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
9
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
.
5
71
例3、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2）， 离心率 e 3 ，求椭圆的标准方程。
2
解:（1）当（0，2）点是长轴端点时
所以a=2 又e c 3 c 3 b 1
a2
所求的椭圆的标准方程是
y2
x2
1
4
（2）当（0，2）点是短轴端点时
所以b=2 又e c
a
a2 b2 a
3 2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
48
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
49
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
50
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
51
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
52
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
4
3，
2
焦点坐标为（ 2 ，3 , 0顶）点坐标（±4,0），(0,±2). (2)已知方程化为标准方程为 y2 x故2 可1，得长轴长
81 9
为18，短轴长为6，离心率为 2 2 ，
3
焦点坐标为（0, 6，2顶） 点坐标（0,±9），（±3,0）. 68
例2. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点 构成一个正三角形，则该椭圆的离心 率是 3 .
A1 (-a, 0) F1
b
a
A2 (a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
60
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
y
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
32
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
33
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
34
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
35
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
36
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
10
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
11
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
12
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
14
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
15
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
43
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
45
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
46
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
47
y
· · F1
o F2
e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
e=1,为线段。
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
64
问：对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
C 更接近于圆的是2
。
65
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
[2]离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，请问：此时椭圆的变化情况？
b就越小，此时椭圆就越扁。 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？
b就越大，此时椭圆就越趋近于圆。
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变
为圆的方程： x2 y2 a2
a2=b2+c2
e c a
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
66
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是 6
3
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4)
外切矩形的面积等于：
80
。
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
16x2 25 y2 400 x2 y2 1 25 16
a=5 b=4 c=3
y
o
x
67
强化训练
1.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐 标，顶点坐标．
（１）x2 4y2 16.
（２）9x 2
【解析】
y
2
81.
（1）已知方程化为标准方程为
x2
+
y2
=
1，
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为16
x2 y2 1或 y2 x2 1
9
81 9
73
解法二：设椭圆方程为 x2 y2 1(m 0, n 0, m n) mn
则由题意得
9 m
1
或
9 m
1
2 m 3 2 n 2 n 3 2 m
解得
m n=1
9或
m 9 n 81
椭圆的方程为 x2 y2 1或 y2 x2 1
2
69
强化训练
1 , 椭圆
x2 y2 1(a b 0)的
a2 b2
左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若
5
AF1 ，F1F2 ，F1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为___5_.
70
2.已知焦点在x轴上的椭圆 mx2 5 y 2 5m 的离心率是
e 10 ,则ｍ＝ 3
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
21
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
22
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
24
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
25
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2 a2 b2
1
2
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1
和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
y=b
-a≤x≤a , -b≤y≤b x =-a
由
x =a
o
x
y = -b
3
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2