方法二：可以画直线 y＝1，看交点的位置自左向右，底 数由小到大．
授人以渔
题型一 对数式的化简与求值 例 1 计算下列各式： (1)lgl2g＋50l－g5l－g4l0g8；
(3)已知 log23＝a,3b＝7，求 log3 72 21的值．
【解析】
2×5 5
lg (1)原式＝
8 50
＝lg45＝1.
大小关系为( )
A．c<b<a
B．c<a<b
C．b<a<c
D．b<c<a
• 答案 A
解析 a＝21.2，b＝(12)－0.8＝20.8，
∵21.2>20.8>1，∴a>b>1.又∵c＝2log52＝log54<1，
∴c<b<a.
6．已知图中曲线 C1，C2，C3，C4 是函数 y＝logax 的图 像，则曲线 C1，C2，C3，C4 对应的 a 的值依次为( )
【答案】
(1)1
(2)－14
2＋a＋ab (3) 2a＋ab
• 探究1 在对数运算中，要注意以下几个问 题：
• (1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底 数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式， 使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则 化简合并．
• (2)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有 关指数、对数问题的有效方法，在运算中要 注意互化．
a
b
【答案】 (1)log23.4>log10.34 (2)log67>log76
2
(3)p<m<n (4)logba>logab>log1b>log1a
a
b
• 探究2 (1)比较两个指数幂或对数值大小的 方法：
• ①分清是底数相同还是指数(真数)相同；
• ②利用指数、对数函数的单调性或图像比较 大小；
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(1,2]
D．(0，12)
• 【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax， 要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒 成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在 f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
• 当0<a<1时，显然不成立．
• 【解析】 a＝log23.6＝log43.62＝ log412.96，∵y＝log4x是单调递增函数，而 3.2<3.6<12.96，∴a>c>b.故选B.
• 【答案】 B
• (2)若loga(π－3)<logb(π－3)<0，a，b是不 等于1的正数，则下列不等式中正确的是
()
• A．b>a>1
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• 1．对数
• (1)对数的定义． • 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于aNb＝，N即
，那么数b叫做以alo为gaN底＝Nb 的对数，记作 .
• (2)对数恒N等式． • ①alogaN＝b (a>0且a≠1，N>0)．
• ②logaab＝ (a>0且a≠1，b∈R)．
第二章 函数与基本初等函数
ห้องสมุดไป่ตู้
第7课时 对数函数
• 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用 换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数．
• 2．理解对数函数的概念；理解对数函数的 单调性．
• 请注意
• 关于对数的运算近两年新课标高考卷没有单 独命题考查，都是结合其他知识点进行．有 关指数函数、对数函数的试题每年必考，有 选择题、填空题，又有解答题，且综合能力 较高．
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• ④当a>1，x>1时，lo< gax 0； • 当a>1,0<x<1时，logax 0；
• 当0<a<1,0<x<1时，logax 0；
• 1．(课本习题改编)化简下列各式． • (1)log26－log23＝________； (2)lg5＋
lg20＝________；
• (3)log35－log345＝________. • 答案 (1)1 (2)2 (3)－2
• (3)对数运算法则．(a>0且a≠1，M>0，N>0)
logaM＋logaN
• ①②lologgaaMN(M＝·Nlo)g＝aM－logaN .
.
nlogaM
• ③logaMn＝
.
(4)换底公式．
logbN＝llooggaaNb(a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，N>0)．
推论：
①logab·logba＝ 1 . ③loganbn＝ logab .
• 当a>1时，如图，要使在(1,2)上，
• f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方， 只需f1(2)≤f2(2)，
• 即(2－1)2≤loga2.loga2≥1，∴1<a≤2. • 【答案】 C
• 探究3 (1)作一些复杂函数的图像，首先应 分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过 来．一般是先作出基本函数的图像，通过平 移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图 像．
B．a<b<1
• C．a>b>1
D．b<a<1
• 【解析】 ∵0<π－3<1，loga(π－ 3)<logb(π－3)<0，
• ∴a，b∈(1，＋∞)，且b>a，∴选A.
• 【答案】 A
题型三 对数函数的图像
• 例3 (1)作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由 图像指出函数的单调区间，并说明它的图像 可由函数y＝log2x的图像经过怎样的变换而 得到．
• A．x2<x3<x1
B．x1<x3<x2
• C．x1<x2<x3
D．x3<x2<x1
• 【答案】 B
(2)已知函数 f(x)＝(13)x－log2x，若实数 x0 是方程 f(x)＝0 的解，且 0<x1<x0，则 f(x1)( )
A．恒为负值 B．等于 0 C．恒为正值 D．不大于 0
【解析】 作出 y＝(13)x 和 y＝log2x 的图像，如图． 由图可知有 0<x1<x0 时，(13)x1>log2x1. 即(13)x1－log2x1>0.∴f(x1)>0.选 C.
则 lgx＝lg[5(1＋lg3)]＋lg3lg2＝(1＋lg3)·lg5＋lg2·lg3＝lg5＋
lg3lg5＋lg2lg3＝lg5＋(lg5＋lg2)·lg3＝lg5＋lg3＝lg15.∴x＝
15.
• 【答案】 15 • 【讲评】 遇到幂的乘积求值时，“取对数”
也是一种有效的方法．
• (3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
A．3,2，13，12 B．2,3，13，12 C．2,3，12，13 D．3,2，12，13
• 答案 B
解析 方法一：因为 C1，C2 为增函数，可知它们的底数 都大于 1，又当 x>1 时，图像越靠近 x 轴，其底数越大，故 C1，C2 对应的 a 值分别为 2,3.又因为 C3，C4 为减函数，可知 它们的底数都小于 1，此时 x>1 时，图像越靠近 x 轴，其底 数越小，所以 C3，C4 对应的 a 分别13，12.综上可得 C1，C2， C3，C4 的 a 值依次为 2,3，13，12.
• 【答案】 C
题型四 综合应用
例 4 已知函数 f(x)＝log1(x2－2ax＋3)．
2
(1)若 f(－1)＝－3，求 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使 f(x)在(－∞，2)上为增函数？若 存在，求出 a 的范围；若不存在，说明理由．
• ③当底数、指数(真数)均不相同时，可通过 中间量过渡处理．
• (2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它 们先进行0,1分类，然后在每一类中比较大 小．
•
思考题2 (1)已知a＝log23.6，b＝
log43.2，c＝log43.6，则( )
• A．a>b>c
B．a>c>b
• C．b>a>c
D．c>a>b
• 2．对于a>0且a≠1，下列结论正确的是( )
• ①若M＝N，则logaM＝logaN；
• ②若logaM＝logaN，则M＝N；
• ③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
• ④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
• A．①③
B．②④
• C．②
D．①②④
• 答案 C
• 3．设y＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)，当 a∈________时y为减函数；这时当 x∈________时，y<0.
• 【解析】 作出函数y＝log2x的图像，将其 关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像，再 将图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝ log2|x＋1|的图像(如图所示)．
• 由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－ ∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．
• 【答案】 略
(2)当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax 恒成立，则 a 的 取值范围是( )
• (2)对于较复杂的不等式有解或恒成立问题， 可借助函数图像解决，具体做法是：对不等 式变形，不等号两边对应两函数．在同一坐 标系下作出两函数图像，比较当x在某一范 围内取值时图像的上下位置及交点的个数， 来确定参数的取值或解的情况．