d B N i ( ) dx

N j ( ) 1 / L 1 / L

单元应力： E EBd 应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
第三章 杆单元
§ 3 –1
虚功原理 虚位移
一维等截面杆单元
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等 于弹性体内的虚应变能。 ——平衡条件 对于杆单元，定义虚位移如下： ui 节点虚位移： d u j
T
二维空间中的杆单元
2 2 ，m 2 2
k 2 T2 k 2T 2
1 1 0 0 EA 2 2 1 1 0 0 L 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
~ T 0 T ~ 0 T
单元节点力的变换为： f
第三章 杆单元
Tf
§ 3 –2
刚度矩阵的坐标变换
二维空间中的杆单元
局部坐标系下杆单元的刚度方程为：
扩充到4自由度形式： 1 0 1 0 ui f xi 0 0 0 0 v f EA yi i L 1 0 1 0 u j f xj 0 0 0 0 v j f yj 写成矩阵符号形式：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
单元1应力：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
第三章 杆单元
§ 3 –1
单元2应力：
一维等截面杆单元
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A
§ 3 –1
一维等截面杆单元
则单元假设位移函数——位移模式如下：
矩阵形式：u N i

ui N j Nd u j

u Ni

ui N j Nd u j

du d N d B d 单元应变： dx dx
B ——单元应变矩阵
T T
对杆单元应用虚位移原理，得：
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V
k B T EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性
单元上假设近似位移函数——位移模式 单元上位移假设为简单多项式函数： u a0 a1 x 有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单 元假设位移函数： 对杆单元，引入局部坐标： 定义节点的插值函数（形函数）：
第三章
杆单元
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
~ 1 ~ T T T 显然是正交阵，即：
m ~ l 向量的坐标变换矩阵为： T m l
单元节点位移向量的变换式如下：
或
d Td
引入边界位移约束和载荷：
系统方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
45，l m
k1 T1 k 1T 1
T
1 EA 2 2 1 L 2 2 0 0
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
第三章 杆单元
k d f
d Td
f Tf
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
利用前面的向量坐标变换式，得：
k Td Tf
考虑到变换矩阵的正交性，得：
k Td Tf
k T k T
T
T kTd f
T
kd f
总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：
用单元刚度矩阵装配系统 刚度矩阵的方法与1-D情况相 同，按节点号对子块重新排 列。
第三章
杆单元
第三章
杆单元
杆单元
3-1 一维等截面杆单元
如何用直接法求杆单元特性？ 如何用公式法导出杆单元特性？
3-2 二维空间杆单元
什么叫坐标变换？ 如何对节点位移向量进行坐标变换？
什么是虚功原理？ 杆单元刚度矩阵的特点？
如何对刚度矩阵进行坐标变换？
应用举例
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
对于上面的杆单元：
与前面直接法得到的公式相同！
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义：
刚度方程中令：
ui 1 u j 0
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
第三章
杆单元
§ 3 –1
（四）举例
一维等截面杆单元
求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２铰接。 刚度矩阵分别为：
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
参考前面弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：
2 2 0 u1 F1 EA u F 2 3 1 2 2 L u F 0 1 1 3 3
单元刚度方程
f i k11 则： f j k21
f i k11 f j k 21
k12 ui k 22 u j
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单 元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在 单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的 刚度矩阵元素，试练习）
单元虚位移： u Nd 则单元虚应变：
d (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： d T f
第三章 杆单元
§ 3 –1
单元虚应变能：
T T
一维等截面杆单元
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元应力：
二维空间中的杆单元
即：
第三章
杆单元
§ 3 –2
（二）例题
二维空间中的杆单元
平面桁架由2根相同的杆组 成（E，A，L）。求： 1）节点2位移 2）每根杆应力
解：
求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：
第三章
杆单元
§ 3 –2
单元1：1-2
2 2
二维空间中的杆单元
应变—位移关系：
应力—应变关系：
E
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性
杆单元伸长量： u j ui
应变：
L