∇si
(
x)
=
⎡ ⎢ ⎣
∂si ∂x1
∂si ∂x2
L
∂si ∂xn
⎤ ⎥ ⎦
(i=1, 2, … , m)
det GB ≠ 0, (∀x,∀t )
ueq = −(GB)−1Gf
x& = f − B(GB)−1Gf
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(1) 滑动方程
x& = f − B(GB)−1Gf
上述方程是n阶的，实际上，只要用n-m阶的方程就 可以描述滑动模态的运动。这是因为，根据等效控制 法，等效控制ueq是在si(x) (i=1, 2, … , m) 的导数为0时求 得，上述系统状态变量具有m个约束。
动模态方程为，其稳定性与品质是线性系统中的一个简
单问题。
17
切换函数的选择
在一般的单输入情况下，切换函数为：
⎡ x1 ⎤
[ ] s = C T x = C1
C2
L
Cn
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
= C1 x1 + C2 x2 + L + Cn xn ⎣ xn ⎦
其中，系数Cn=1。
控制量很多个
对于多输入控制系统，切换函数的确定要复杂很多，有 m个控制，就对应有m个切换函数。但是，不论单输入 还是多输入，确定切换函数的问题，实质上是选择系统 C（或系数矩阵C）的问题。
x&1 = x2 x& 2 = x3
M x& n = −a1 x1 − a2 x2 − L − an xn + bu
切换面s＝CT x = 0，即：
s = C1 x1 + C2 x2 + L + Cn−1 xn−1 + xn = 0
根据各个状态之间的数学关系，故在滑动时，s(x)=0就 是一个n-1阶微分方程。
V& ( x) = (2 + a)x1 x2
若x1 x2>0时，取a<-2；若x1x2<0，取a>-2。则可保证 Lyapunov函数的导数总为负，于是系统渐近稳定。
4
实例1：一般意义下的变结构系统
在上例中，我们注意到a是根据 x1 x2的符号来切换 的，它并不维持不变，但只在间断的时刻切换，它的 切换也并不只决定于x1或x2。这个系统，满足广义变 结构系统的定义，但是，像这样一些广义的变结构系 统还很多，这种变结构系统是一般意义下的转换控制 系统
因有s(x)=0的约束，n个状态变量已不再是独立的了，
它们之间只有n-1个独立变量，任意消去一个变量，如
消去xn，得到一个n-1个独立变量的运动方程：
27
实例：二阶继电系统
x~& = ~f ( x~, t)
由于s(x) ≡ 0，所以上述方程也就是滑动模态运动方程。
x&1 = a11 x1 + a12 x2 x& 2 = a21 x1 + a22 x2 + u
=
⎪⎩⎪⎨⎧uuii−+
(x) (x)
si (x) > 0 si (x) < 0
ui+ ( x) ≠ ui− ( x)
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C. 变结构控制系统设计的问题
设计的2个问题
A. 选择切换函数，或者说确定切换面si=0；
B. 求取控制 ui± ( x)
控制量u只有一个
D. 切换函数的选择
在开始的例子中，切换函数是s=Cx1+x2，这时，控制的 切换在s=Cx1+x2=0上进行，这个系统为单输入控制系 统，切换函数只有1个。确定了切换函数，也就确定了滑
如设有系统：
⎧ ⎨ ⎩
x& 1 x& 2
= =
x2 ax1
则此系统的特征方程为： p2 − a = 0
若a保持不变，则不论a取什么值，此系统都不会
渐近稳定。
3
实例1：一般意义下的变结构系统
对此系统取如下Lyapunov函数：
V ( x) = x12 + x22
⎧ ⎨ ⎩
x& 1 x& 2
= =
x2 ax1
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E. 变结构控制系统设计的目标 设计的目标有3个，即变结构控制的三个要素：
A．所有轨迹于有限的时间内达到切换面； B．切换面存在滑动模态区； C．滑动运动是渐近稳定的，并具有良好的动态品质。
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3. 变结构控制的三要素
⎧ ⎨ ⎩
x& 1 x& 2
= =
x2 −a1 x1
−
a2 x2
+
u
u = −ψ x1
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A. 滑动模态的概念
设系统状1 x& 2
= =
x2 −a1 x1
−
a2 x2
+
u
；
式中， x1 ， x2为系统的状态变量，a1 ，a2为固定参
数，u为控制函数，其中，a1 >0，a2<0。
用x1构造一个控制作用：
u = −ψ x1
当ψ = α 时，得到一种系统结构，其中α >a1为常数。
根据等效控制法，等效控制ueq应由si(x) (i=1, 2, … , m)
的导数为0来求得。
si = C i1 x1 + C i 2 x2 + L + C i(n−1) xn−1 + C in xn
s& = 0
Gf + GBueq = 0
其中，G是m × n矩阵，其行向量为 si ( x)的梯度向量，即有
x1n−1 + C n−1 x1n−2 + L + C 2 x&1 + C1 x1 + L + xn = 0
29
B. 等效控制法(多输入的情况) (1) 滑动方程
x& = f ( x, u, t)
等效控制法的要点是：令基于上述方程而确定的滑模函数 si(x) (i=1, 2, … , m) 的导数为0，将所得的方程组对控制向 量求解，这个解叫等效控制ueq，把它代入上述方程，所得 到的方程就是理想滑动方程。
lim s& < 0
s→0+
lim s& > 0
s→0−
或
ss& < 0
25
26
2. 滑动模态方程
ss& < 0
如果上述不等式成立，那么在切换面上就存在滑动
模态。下面我们来研究滑动模态的数学描述式子。
Ａ. 消除约束法
系统在滑动面上运动时，其状态满足如下约束：
x& = f ( x, t) s(x) = 0
5
2. 滑动模态变结构的概念和定义
本讲研究对象是一类特殊的变结构系统，其特殊之 处在于，系统的控制有切换，而且在切换面上系统会沿 着固定的轨迹产生滑动运动。这类特殊的变结构系统， 叫滑动模态变结构控制系统，简称为滑模变结构控制系 统。以后提到变结构系统，或变结构控制，除非有特殊 说明，都是指的这一类有滑动模态的变结构系统。
23
C. 滑动运动在什么条件下是稳定的。
如图所示，由于在切 换线s =0两侧，相轨迹 指向相对，滑动模态 虽然产生，但滑动运 动的方向，不是趋于 稳定到原点，而向着 发散的方向运动。
24
二、滑动模态的存在条件与滑动模态方程 1. 滑动模态存在的条件
从这个图可以看出，相轨迹都指向滑动面，且一旦
达到滑动面上后，相点不再脱离它的条件为：
数C，使Cx1 +x2=0(C>0)，位于x1轴和ψ = –α 时的双
曲线轨迹的渐进线之间。
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相轨迹图形
Cx1 +x2=0(C>0)
11
实例：滑动模态的概念
其结构改变的规律具有如下形式：
ψ
=
⎧α ⎩⎨− α
if x1s > 0 if x1s < 0
注意：当x1>0，s>0(Ⅰ区)和x1<0，s<0(Ⅲ区)时，相轨 迹为不稳定焦点的轨迹；当x1<0，s>0(Ⅱ区)和x1>0， s<0(Ⅳ区)时，相轨迹为鞍点的轨迹。
第三讲
变结构控制 ——滑模控制
中南大学信息科学与工程学院
1
本讲主要内容
1
变结构系统的基本概念
2
滑动模态的存在条件与滑动模态方程
3
标量滑模控制
4
滑模控制的不变性
５
具有准滑动模态的控制系统
2
一、变结构系统的基本概念
1.变结构系统的定义 广义地说，在控制过程（或瞬态过程）中，系统结构 （或叫模型）可发生变化的系统，叫变结构系统。
12
实例：滑动模态的概念
由图可见，系统状态的代表点由任何初始位置出发，总 会碰到直线s =0，我们约定，把进到直线s =0叫做进入 直线s =0，在这条直线的领域，两结构的轨迹指向相 对，故往后系统的运动将是沿着s =0这条直线的滑动模 态，如图中s =0上的锯齿线所示。直线s =0是控制产生 切换的边界线，由于控制切换，直线s =0常被称为切换
7
⎧ ⎨ ⎩
x& 1 x& 2
= =
x2 −a1 x1
−
a2 x2
+
u
u = −ψ x1
当ψ = α 时，得到一种系统结构，其中α >a1为常数。
⎧ ⎨ ⎩
x& 1 x& 2
= =
x2 −a1 x1
−
a2
x2
−
αx1
从上式可知道，在这种情况下，系统的特征根是正实