6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：
(1) 平移
P’
(2) 针对原点进行二维几何变换。 y
θ
P
(3) 反平移
F(xF,yF)
o
x
相对任一参考点的二维几何变换
例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换
y
F(xF,yF)
4.1.3 复合变换
其它二维复合变换
cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 R sin cos 0 0 cos 0 tg 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 tg 0 cos 0 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 1
复合变换
第4章 图形变换(二维)
提出问题：
❖如何对二维图形进行方向、尺寸和形状 方面的变换
❖如何方便地实现在显示设备上对二维图 形进行观察
基本概念
几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺 寸和形状方面的变换。
二维图形几何变换
平移变换 旋转变换 比例变换
复合变换具有形式：
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
4.1.3 复合变换
6.3.1 二维复合平移 两个连续平移是加性的。
6.3.2 二维复合比例 连续比例变换是相乘的。
6.3.3 二维复合旋转 两个连续旋转是相加的。可写为：
R R(1) • R(2 ) R(1 2 )
平移是一种不产生变形而移动物体的 刚 体 变 换 （ rigid-body transformation）
Y
P'
T
Ty
P Tx
X 图6-1 平移变换
x' x Tx
y'
y
Ty
平移变换
推导： x’=x+Tx,y’=y+Ty
a b p
x'
y' 1 x
y 1T2D x
y 1 c
d
q
l m s
矩阵： 1 0 0
问题：S>1时缩还是放？
a b p
x'
y' 1 x
y 1T2D x
y 1 c
d
q
l m s
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s y/s s/s]
旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正， 顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
Y
P'
r
θr
P
α
X
图6-4 旋转变换
a b p
x'
y' 1 x
y 1T2D x
y 1 c
d
q
l m s
矩阵： Sx 0 0
0
Sy
0
0 0 1
比例变换
Sx=Sy>1 原图
原图
Sx<Sy
Sx=Sy<1
(a) Sx=Sy比例 图6-3
Sx>Sy
(b) 比例变换
Sx<>Sy比例
比例变换
整体比例变换： 1 0 0
0 1 0
0 0 s
(1)沿x方向错切 (2)沿y方向错切 (3)两个方向错切
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成 P’ = P * T 的形式： 1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
4.1.3 复合变换
复合变换是指： 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
X’ = rcos(a+θ)
y’= rsin(a+θ)
= rcosacosθ-rsinasinθ = rcosasinθ+rsinacosθ
= x cos θ-y sinθ
= x sin θ+y cosθ
矩阵：逆时针旋转θ角 顺时针旋转θ角?
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
P(x,y) X
(c)关于原点对称
X
(c)关于原点对称
1 0 0
0
1 0
0 0 1
Y Y
对称变换
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x,y)
p'(y,x) X
(d)关于x=y对称
X (d)关于x=y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
对称变换
(5)关于y=-x轴对称
x=-y
P(x,y)
X P'(-y,-x)
X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
旋转变换
推导：
a b p
x'
y' 1 x
y 1T2D x
y 1 c
d
q
l m s
(e)关于x=-y对称
Y Y
X
(e)关于x=-y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变 形处理。
Y
Y
Y
X (a) 原图
X
(b) 沿x方向错切
图6-7 错切变换
X (c) 沿y方向错切
错切变换
其变换矩阵为：
1 d 0 b 1 0 0 0 1
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换
二维变换矩阵
a b p
x'
y' 1 x
y 1T2D x
y
1 c T1 d
Tq3
l
m
T2
s
T4
T1：比例、旋转、对称、错切 T2：平移 T3：投影 T4：整体缩放
平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
0
1 0
Tx Ty 1
Tx，Ty称为平移矢量
Y
比例变换
比例变换是指对p点相对于坐标 原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方 向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比 例系数。
P'(4,3) P(2,1)
X 图6-2 比例变换(Sx=2,Sy=3)
x' xsx y' ysy
比例变换
推导： x’=Sx*X,y’=Sy*Y
Y Y
对称变换
(1)关于x轴对称
P(x,y) X
P'(x,-y) (a)关于x轴对称
X
(a)关于x轴对称
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Y Y
对称变换
(2)关于y轴对称
P'(-x,y) p(x,y) X
(b)关于y轴对称
X (b)关于y轴对称
1 0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1 0
0 0 1
Y Y
对称变换
(3)关于原点对称
简化计算（θ很小）
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
X (d)关于x=y对称
X (e)关于x=-y对称