V W
★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 2
Pl
P2l FN2l 2EA 2EA
一般地
V
l
FN2dx 2EA
P
P l
l
2、扭转
V W
1m
2
1m ml 2 GIp
T 2l
一般地
2G I p
m m
V
l
T2dx 2GIp
3、弯曲
纯弯曲：
V
W
1 m
2
1 m ml 2 EI
m2l M2l
x2 B
P
x1
C
M(x2)PaF N(x2)P
A
C y a 0 M E (x 1 ) I M P (x 1 )d 1 x a 0 F N E (x 1 ) A F N P (x 1 )d 1 x a 0M E (x 2 )I M ( P x 2 )d2 x a 0F N E (x 2 )A F N P (x 2 )d2x
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
转角：横截面绕中性轴转过的角度。
w
x
挠曲线
y
挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。
★工程实例 控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移
★工程中测量挠度的方法、仪器
精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、 光电方法等
三.挠曲线近似微分方程
1.挠曲线方程(deflection equation)
w 解B：3(P 2E3a)I2P (2E aa2)I
5Pa3 12EI
B2(P 2Ea2 I)P2EaaI
3Pa2顺时针
4EI
w Cw BBa3 P E 3a I3 2 P E3a I
思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为 E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为
q
Ew Iqlxqx2 22
A
Ew Iqx l2qx3C
x
l
46
E Iq w x l3qx4 C x D 12 24
由边界条件：x0时， w0
xl时， w0
得：
Cql3, D0 24
B x
q(6 lx24x3l3)
2 4E I
y
wqx (2lx 2x3l3)
q
2E 4 I
A
最大转角和最大挠度：
应变能
M2(x)dx
V
l
2EI
应用卡氏第二定理
Δi
l
M(x).M(x)dx EI Fi
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M(x)Mi(x)dx EI
Mi (x) 对应于去掉原结构中外力,只在i
处加相应单位力后的弯矩方程 ●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1 ●计算梁截面挠度时,加单位集中力1
M(x) 对应于原结构的弯矩方程。
x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
P2l 2EI
B
Pl2 2EI
wmaxwB
P3l 3EI
wB
Pl3 3EI
P
θBB x
另解： M(x)Px Ew IM (x)
Ew IPx
xA
Ew IPx2C 2
EIw Px3C xD 6
边界条件：x l时 ， w 0 ,w 0
C Pl2 D Pl3
y
P
A l
Bx
解：M (x ) P (l x ) y
E w IP xP l
A
x
Ew IPx2PlxC
l
2
E IP w x3P lx2C x D 62
由边界条件：x 0 时 w ， 0 ,w 0
得： C D 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px(x2l)
y
2EI
A
wPx2(x3l) 6EI
a
a
a
四.用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各载荷单独作用 下的变形，然后叠加。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下 的挠度，然后叠加（代数和）。
E w I M (x)d x C
E I M w (x ) d x d x C D x
式中积分常数C、D由边界条件确定 ●弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n
由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
边界条件
光滑连续条件：
F
√
wc
wc
c
c
C
×
× 约束条件:两端铰处挠度为零。
2EI
3EI
y
P
xB
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px2 Pl2
2EI 2EI
xA
wPx3Pl2xPl3 6EI 2EI 3EI
y
P
x
B
θB
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2
2EI
wmaxwB
P3l 3EI
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
能量法I-静定结构变形计算
一、杆件的应变能 二、卡氏第二定理 三、单位力法 四、图形互乘法
一、杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能 (又称变形能)。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位 移上所做的功，即
算悬臂梁自由端A处转角。
解：A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。
MA 0
q0
MA
任意截面弯矩为
Ax
B
M (x ) M A 1 2q l0xx3 x
l
MA16q0lx3
M (x)M A1 6q0lx3
M(x) 1 MA
l
A
0
M(x)M(x)dx EI MA
E 10 l(I M A 1 6q 0 lx 3)d x E 10 l1 6 Iq 0 lx 3dx
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0 Mw0M
y M0 M w0M
x
x
Ew IM
思考:与小挠度微分方程 Ezw I相 M 对(x 应)的坐标系 为？ （ ）
xx
y
x
y
y
(a)
(b)
(c)
教材中采用（a)图坐标系
2. 积分法求弯曲变形 ●弯矩方程不分段时 Ew IM (x)
P
A
B
C BC引起的位移
L
a
fc1
pa3 3EI
c1
pa2 2EI
P
A
B
C
刚化 EI=
P
C
θc1
fc1
刚化BC， AB部分引起的位移
θB2
P
A
B
C
fc2 刚化
EI=
θB2
P
Pa
fc2 B2 a
PaL a 3EI
B2
paL 3EI
fcfc1fc2
cc1c2
例8. 求图示变截面梁B、C截面的挠度 。
第五章 梁弯曲时的位移
(Displacements of Bending Beam)
廖东斌 编制 13451911061
第五章 梁弯曲时的位移
一.概 述 二.梁的位移─挠度及转角 三.挠曲线近似微分方程 四.叠加法计算梁的位移 能量法I-静定结构变形计算
五.梁的刚度计算
一.概 述 1.工程实践中的弯曲变形问题
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常 工作。
在另外一些情况下，却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
★变形过大的不利影响（工程实例）
●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出现废品。
摇臂钻床
(自重、钻头等约束力影响）
●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
边界条件
铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。
y
q
x
l
解：M(x)qlxqx2 y
w
x
挠曲线
y
挠曲线方程：wf(x)
转角方程： ta w n f(x )
曲线 w = f (x) 的曲率为
w
(1w2)3/2
梁纯弯曲时曲率由几何关系得
1 M(x)
(x) EIz
考虑小变形条件：
(1 x )(1 w w 2)3 /2 w
1 M(x)
(x) EIz
Ezw I M (x)
如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法 化成可查表形式。
例5.用叠加法求 wC、 A、 B
解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361
wC
5ql 4 384 EI
Pl 3 ml 2 （ 48EI 16 EI
）
A
ql 3
Pl 2
ml
（
）