力和力矩
力对点之矩
力和力矩
力对点之矩
作用在扳手上的力F使螺母 绕O点的转动效应不仅与力的大 小成正比，而且与点O到力作用 线的垂直距离h成正成比。点O 到力作用线的垂直距离称为力臂 (arm of force)。
力和力矩
力对点之矩
规定力F与力臂h的乘积作为 力F使螺母绕点O转动效应的度 量，称为力F对O点之矩，简称 力矩(force moment for a given point),用符号mO（F）表示。即
力和力矩
力对点之矩
用小手锤拔起钉子的两种加力方式。两种情形下，加 在手柄上的力F的数值都等于100N，手柄的长度l=100 mm。
试求：两种情况下，力F对点O之矩。
力和力矩
力对点之矩
解：1. 图a中的情形 这种情形下，力臂: O点到力F作用线的 垂直距离h等于手柄长度l，力F使手锤 绕O点逆时针方向转动，所以F对O点之 矩的代数值为
B
mO F F h 2ABO
其中O点称为力矩中心，简称矩 心(center of a force moment);力
矩的国际单位记号是N·m或kN·m。
力对点的矩矢
力 F 对刚体产生绕 O 点转动效应取决于：
➢转动效应的强度
Ar
➢转动轴的方位（力 F 与矩心 O 所在平面法向）
➢使刚体绕转动轴转动的方向
MO
(F)
r
F
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
i j k MO(F) r F x y z
z
Fz
F
rA O Fx
z x
Fy y
y
x
Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
MO (F ) x yFz zFy , MO (F ) y zFx xFz , MO (F ) z xFy yFx
力和力矩
合力之矩定理
FR
n
mO FR ＝ mO Fi
i 1
F2
例1 已知：如图 F、R、r, a , 求：M A(F )
解：应用合力矩定理
R Fy
F
r
a
MA(F ) MA(Fx ) MA(Fy )
A
MA(F) Fx (R r cosa) Fy r sina
M A(F ) F cos a(R r cos a ) F sina r sina
力和力矩 力偶及其性质 约束与约束力 平衡的概念 受力分析方法与过程 结论与讨论
第1章 静力学基础
力和力矩
力和力矩
力的概念 作用在刚体上的力的效应
与力的可传性 力对点之矩 力系的概念 合力之矩定理
力和力矩
力的概念
力和力矩
力的概念
力(force)对物体的作用效应取决于力的大小、方 向和作用点。
力使物体改变运动状态，称为力的运动效应；力使物体发 生变形，称为力的变形效应。
静力学研究物体的受力与平衡的一般规律，平衡是运动的 特殊情形，是指物体对惯性参考系保持静止或作匀速直线平 动。
静力学的研究模型是刚体。
工程力学（静力学与材料力学）
第一篇 静力学
第1章 静力学基础
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第1章 静力学基础
M A(F ) FR cos a Fr
1
a
Fx
例题 2
力和力矩
合力之矩定理
已 知 :作用在托架的A点力为
F以及尺寸 l1, l2 , .
求: 力F对O点之矩MO(F)
力和力矩
合力之矩定理
解 : 可以直接应用力矩公式计算力F 对O点之矩。但是，在本例的情形 下，不易计算矩心O到力F作用线的 垂直距离h。
Nanjing University of Technology
工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(1)
2020年7月6日
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工程力学(静力学与材料力学）
第一篇 静力学
工程力学（静力学与材料力学）
第一篇 静力学
力是物体间相互的机械作用。力的作用可以使物体的运动 状态发生改变，或者使物体发生变形。
可以得到
mO F F2 l F1 d F lcos45 dsin45
500N 0.2m cos45 0.1m sin45
35.35N m
第1章 静力学基础
力偶及其性质
力偶及其性质
力偶－最简单、最基本的力系 力偶的性质 力偶系及其合成
力偶及其性质
力偶－最简单、最基本的力系
但不在同一直线上，这两个力组成的力系称为力
偶(couple)。
（F,F）
力偶臂
dF F
力偶的作用面
平面力偶及其性质
m
B
F
o
dA
F’
力偶没有合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力与之平
衡，它是力学中的又一基本要素，其作用使物体发生转动，以力
偶矩表示。
大小：
m(F, F) mo (F) mo (F) FOA FOB Fd
mO F Fh＝Frsin
为矢径r与力F之间的夹角。
力矩矢量的作用线与力和矩心所组成的平面之法线一 致，它表示物体将绕着这一平面的法线转动。
力和力矩
力对点之矩
mO F r F
mO
力矩矢量的方向由右手定则确
定：右手握拳，手指指向表示力 矩转动方向，拇指指向为力矩矢 量的方向。
F r
例题 1
力偶及其性质
力偶－最简单、最基本的力系
工程中的力偶实例
钳工用绞杠丝锥攻螺纹时， 两手施于绞杆上的力和，如果 大小相等、方向相反，且作用 线互相平行而不重合时， 便组成一力偶 。
力偶及其性质
力偶－最简单、最基本的力系
工程中的
力偶实例
F1
F2
1. 力偶的定义
两个力大小相等、方向相反、作用线互相平行、
Mx (F )i M y (F ) j Mz (F )k
所以力对点O的矩为：
2
2
2
MO(F) Mx(F) My(F) Mz(F)
cosa
M x (F) , cos b
M
y
(
F
)
,
cos g
Mz (F)
M O (F )
M O (F )
M O (F )
1
30
二、力对点的矩矢
FA
rA
rBA
rB F
O
B
y
x
③ 力偶对任意点的主矩 = r × F
q
胎作用在桥面上的力，当轮胎
与桥面接触面积较小时，即可
视为集中力；而桥面施加在桥
梁上的力则为分布力。
力和力矩
作用在刚体上的力的效应
力和力矩
作用在刚体上的力的效应与力的可传性
力使物体产生两种运动效应：
若力的作用线通过 物体的质心，则力将使物 体在力的方向平移。
若力的作用线不 通过物体质心，则力将 使物体既发生平移又发 生转动。
如果将力F分解为互相垂直的
两个分力Fl和F2，二者的数值分别
为
F1＝Fcos45
F2＝Fsin45
这时，矩心O至Fl和F2作用线的垂直 距离都容易确定。
力和力矩
合力之矩定理
F1＝Fcos45 F2＝Fsin45
于是，应用合力之矩定理，
mO (F) = mO (F cos)+mO(F sin )
已知投影求力
F Fxi Fy j Fzk
F Fx2 Fy2 Fz2
cosa Fx1 cos b Fy
F
F
cosg Fz
F
力和力矩
力的概念
实际上两物体接触处总会占有一定面积，力总是 分布地作用于物体的一定面积上的。
如果这个面积很小，则可将其抽象为一个点，这 时作用力称为集中力。
Fh
B
MO(F) r F
MO (F ) Fh 2SABO
MO(F)
O
❖ 力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢 量积。
❖ 力对点之矩矢是过矩心O的定位矢量。
❖ 力对点之矩矢服从矢量的合1成法则。
20
力和力矩
力对点之矩
mO F r F
力矩矢量的模描述转动效应的大小， 它等于力的大小与矩心到力作用线的垂 直距离（力臂）的乘积，即
力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。 国际通用的力的计量单位是“牛顿”简称“牛”，英 文字母N和kN分别表示牛和千牛。
力的方向指的是静止质点在该力作用下开始 运动的方向。沿该方向画出的直线称为力的作用线， 力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向。
力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。
力和力矩
SOAB cosg SOA'B'
故： MO (F ) cos g M z (F )
[MO (F )]z Mz (F )
1
29
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该
轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系，称
为力矩关系定理。
又由于 M O (F ) [M O (F )]x i [M O (F )]y j [M O (F )]z k
2. 力偶的基本性质
① 力偶不能与一个力等效
F
（即力偶没有合力），因此 也不能与一个力平衡。力偶
FR ≠ 0
是最基本、最简单的力系。
F
② 力偶的主矢 ≡ 0
F
FR ≡ 0
2
Mo =
∑
i=1
Mo( Fi)
= rA × F + rB × F
= ( rA － rB ) ×F = rBA × F