高三第一次模拟试卷
数学试卷（理科）
一、选择题
1.已知集合{}3,2,1,0,1-=A 。
{}
x y x B 3log 1|-==，则集合=B A （ ） A.{}2,1,0
B.{}2,1
C.{}3,2,1,0
D.{}3,2,1
2.已知复数i i
z 345+=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.
i 5
4
B.i 54-
C.54
D.5
4-
3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如下表，根据数据表的回归直线方程a x b y ˆˆˆ+=，其中2ˆ=b
，据此模型预测广告费用为9千元时，销售额为（ ） 广告宣传费x （千元） 2 3 4 5 6 销售额y （万元） 2 4 7
10
12
A.17万元
B.18万元
C.19万元
D.20万元
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若673=+a a ，则=9S （ ） A.15
B.18
C.27
D.39
5.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当)0,1(-∈x 时，x
e x
f -=)(，则=)2
9
(f （ ）
A.e
B.e -
C.
e 1 D.e
1- 6.已知n x
x )2
(3+的展开式的各项系数之和为243，则展开式中7
x 的系数为（ ） A.5
B.40
C.20
D.10
7.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+≤--0
4200
2y x y x y x ，y x z 21-=的最大值为（ ）
A.6-
B.
2
3 C.
3
7 D.3
8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。
”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此法求解。
右图是解决这类问题的程序框图，若输入24=n ，则输出的结果为（ ） A.23 B.47 C.24 D.48
9.若函数)0(12cos )42(
sin sin 4)(2>-++⋅=ωωπ
ωωx x x x f 在]3
2,2[π
π-上是增函数，
则ω的取值范围是（ ） A.)1,0[ B.),4
3[+∞
C.),1[+∞
D.]4
3,0(
10.双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作倾斜角为60°的直线与y 轴
和双曲线的左支分别交于点A ，B ，若)(2OF OB OA +=，则双曲线的离心率是（ ） A.3
B.2
C.32+
D.5
11.已知函数)(x f y =对任意),0(π∈x 满足x x f x x f cos )(sin )(>'（)(x f '为)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A.)6(2)4(ππf f <
B.)6(2)4(ππf f >
C.)4(2)6(ππf f >
D.)4
(2)6(π
πf f < 12.已知)32()(23b a d cx bx ax x f <+++=在R 上是单调递增函数，则a
b c
32-的最小值是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
13.若非零向量b a ,=，0)2=⋅-a b ，则a 与b 的夹角为________________- 14.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若13360==︒=b a B ，，，则c 的值为________________________
15.已知)0,2(F 为椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为 6.若
)2,2(-A ，点M 为椭圆上一点，则MF MA +的最大值为_______________
16.如图一张矩形白纸ABCD ，210,10==AD AB ，E,F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，
△CDF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BFDE 同侧。
下列命题正确的是__________________-
①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ； ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE ∥CD ； ③当A ，C 重合于P 点时，PG ⊥PD ；
④当A ，C 重合于P 点，时，三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为π150。
三、解答题
17.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足3
2112111a a a a =-=，。
（1）求等比数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12log +=n n a b ，求数列{}n a 的前n 项和n T .
18.如图，在三棱柱ABC -DEF 中，AE 与BD 相交于点O ，C 在平面ABED 内的射影为O ，G 为CF 的中点。
（1）求证：平面ABED ⊥平面GED ；
（2）若AB=BD=BE=EF=2，求二面角A -CE -B 的余弦值。
19.某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分。
从全体学生中随机抽取100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：
将学生成绩划分为三个等级如图。
（1）在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；
（2）已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生有34人。
试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？
（3）将样本的频率作为总体的概率，并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计棋A 项目等级比B 项目等级高的概率。
20.已知抛物线)0(22
>=p py x 和圆)0(2
2
2
>=+r r y x 的公共弦过抛物线的焦点F ，且弦长为4. （1）求抛物线和圆的方程；
（2）过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，求△ABM 面积的最小值。
21.已知
)(ln 2
1)(2
R a x a x x f ∈-=
有两个零点。
（1）求a 的取值范围；
（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：a x x 221>+。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为)(2
22122
21为参数t t y t
x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα
⎩
⎨⎧==y x 。
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，点A 的极坐标为）
，（3
2π。
（1）求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标；
（2）直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积。
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数0,12)(≤---=a a x x x f （1）当0=a 时，求不等式1)(<x f 的解集； （2）若)(x f 的图象与x 轴围成的三角形面积大于2
3
，求a 的取值范围。