-4
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当 >0时，图象随x增大而上升。 当 <0时，图象随x增大而下降
1
0
1
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
1
0
0 1
在 (1,) 上 任取一 点作 x 轴 的垂线， 与幂函数 的图象交 点越高， 的值就越 大。
0 1
1
0
练习．如图，图中曲线是幂函数 y＝x 在第一象限的 1 1 大致图象，已知 α 取－2，－ ， ，2 四个值，则相应于曲 2 2 线 C1，C2，C3，C4 的 α 的值依次为(
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1 :已知f ( x) m m 1 x
2
2 m 3
是幂函数，
求m的值。
例2：已知函数 f (x) m 3m 3x 是幂函数,并且是偶函数， 求m的值。
1 1 A．－2，－ ， ，2 2 2 1 1 C．－ ，－2,2， 2 2
α
)
1 1 B．2， ，－ ，－2 2 2 1 1 D．2， ，－2，－ 2 2
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
1）
1.3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1y=x-1
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0
a=1
成功始于方法 巩固才能提高
幂函数的性质与图象
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报 yx 纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx １：以上各题目的函数关系分别是什么？
２：以上问题中的函数具有什么共同特征？
yx
一、幂函数的定义
Ｋ 一般地，函数yy= x x 叫做幂函数，其中x
是自变量， k是常数。
注 意
1、幂函数的解析式必须是yy= 项． 2、定义域与 的值有关系.
Ｋ ｘ
x
的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１
二、幂函数与指数函数比较
1 2
3 2m
1 2
1 2
,
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
-2
-3
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x
0
1 2
1
2
4
-3
yx
0
1
2
2
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 1 2 3 y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
不管指数是多少, (-2,4) 图象都经过哪个 定点?
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x0
6
y=x-1
4
-1
(-1,-1)
-2
-3
在第一象限内， 当 >0时，图象随x增大而上升。 当 <0时，图象随x增大而下降。 图象都经过点（1，1） >0时,图象还都过点(0,0)点
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
2
0.5＜
1.5
0.5
2 ＜ 5.1 2） 5.09
1 4
3） 1.79 ＞ 1.81 4）
1 4
(2 a )
2 2 3 ≤
2
2 3
比较各组数的大小
1 2 1 2 1 3 2 3
(1)1.1 ,1.4 ,1.1
1 4 1 4
(2)2.5 ,2.6 ,0.8
例3
若 m 4
2
m2 2
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9
