（ A）3 （ B）2槡2 （ C） 槡5 （ D）2
3． （2007 年陕西高考题） 如图 7，平面内
有三个向量O→A、O→B、O→C，其中O→A 与O→B 的夹角
为 120°，O→A 与O→C 的夹角为 30°，且 | O→A | =
| O→B | = 1，| O→C | = 2 槡3 ，若O→C = λ O→A +
sin（ β + 45°）
sin（ β + 45°） 3
故 m + n = 槡2 = 3． 槡2 3
评注 解法 4 主要依据等高线原理：如
图 5，设直线 DE ∥ AB，点 F 为直线 DE 上任意 一点，若O→F = λ O→A + μ O→B，则 λ + μ = k，其中 O→A、O→B 不共线，k 为定值，且
理，有 m
+
n
=
OC OD
=
O槡2D． 由 tan
α
=
7，得 sinα
* 本文为福 建 省 中 小 学 名 师 名 校 长 培 养 工 程 专 项 课 题“高 中 数 学 变 式 教 学 微 设 计 研 究 ”（ 课 题 批 准 号： DTＲSX2017009） 的阶段成果．
·12·
第5 期
高中数学教与学
．
由 O→C
=
m
O→A
+
n
O→B，得
1 5
=
m－
3 5
n，75
= 4 n． 解得 m = 5 ，n = 7 ，故 m + n = 3．
5
4
4
评注 解法 5 主要依据直角坐标系坐标
进行计算求解．
二、变式练习
1． （2006 年福建卷高考题） 已知 | O→A | = 1，| O→B | = 槡3 ，O→A·O→B = 0，点 C 在 ∠AOB 内， 且 ∠AOC = 30°，设O→C = m O→A + n O→B（ m、n ∈
n ∈ Ｒ） ，则 m + n =
．
一、试题解法
解法 1 数量积法
由 tan α = 7，可得 cos α = 1 ，sin α = 5 槡2
7 ，故 5 槡2
1 5 槡2
=
|
O→A·O→C O→A | | O→C |
= m + n O→A·O→B． 槡2
由 cos∠BOC
=
槡2 ，可得 2
O→B·O→C | O→B | | O→C |
O→B 按 l 与O→C 方向进行分解，根据物理学中力 的平衡原理，有 msin α = nsin45°，mcos α +
ncos 45° = 槡2 ，化简得 7m = 5n，m + 5n = 10，
解得 m
=
5 4
，n
=
7 4
，故
m
+
n
=
3．
评注 解法 2 主要是依据物理学中的力
的合成与分解来求解．
高中数学教与学
2019 年
一道高考向量题的多种解法*
蒋满林
潘凌
（ 福建省古田县第一中学，352200） （ 福建省南平市第一中学，353000）
本文以一 道 高 考 向 量 题 为 例，进 行 解 法
探究，得到了五种解法．
题目 （2017 年江苏高考题） 如图 1，在
同一个平面内，向量O→A、O→B、O→C 的模分别为 1、1、槡2 ，O→A 与O→C 的夹角为 α，且 tan α = 7，O→B 与O→C 的夹角为 45°． 若O→C = m O→A + n O→B（ m、
解法 3 向量分解法
如图 3，过点 C 作 CD 平行于 OA 交 OB 于
点 D，作 CE 平行于 OB 交 OA 于 E，则 CD = OE
= mOA，CE = OD = nOB． 在 OCD 中，由正
弦定理，得 CD sin 45°
=
OC sin（ α + 45°）
=
OD ，由 sin α
tan
μ O→B（ λ、μ ∈ Ｒ） ，则 λ + μ 的值为
．
参考答案：1． B，2． A，3. 6
·13·
= m O→A·O→B + n = 槡2 ．
槡2
2
又由 cos∠AOB
=
cos（ α + 45°）
=－
3， 5
可得O→A·O→B = －
3 5
，故
m
－
3 5
n
=
1 5
，－
3 5
m
+ n = 1，解得 m + n = 3． 评注 解法 1 主要是依据向量的数量积
与夹角公式来求解． 解法 2 力的平衡法 如图 2，过点 O 作直线 l 与 OC 垂直，O→A、
k
=
OD OA
=
OE OB
=
OOFC．
解法 5 坐标法
以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直
角坐标系如图 6，则 A（1，0） ． 由 tan α = 7，得
sin
α
=
7 槡2 10
，cos
α
=
槡2 10
．
设 C（ xC ，yC ） ，B（ xB ，yB ） ，则 xC = | O→C |
cos α =
=
7槡2 10
，cos
α
=
槡2 10
．
设
∠BAO
=
β，则由 tan 2β
= tan（135° － α）
=
4 3
，可得 sin
2β
=
4 5
，sin
β
=
槡5 5
，cos
β
=
2槡5 5
，sin（
β
+ 45°）
=
3
槡10 10
．
在
BOD
中，由 正 弦 定 理，得 OD sin β
=
OB ，可得 OD = sin β = 槡2 ．
α
=
7，得 sin
α
=
7 槡2 10
，cos
α
=
槡2 10
，sin（
α
+
45°）
=
4 5
，结合
OC
= 槡2 ，可得 CD
=
5 4
，OD
= 7 ，即有 m = 5 ，n = 7 ，故 m + n = 3．
4
4
4
评注 解法 3 主要依据向量的平行四边
形法则与解三角形来求解．
解法 4 等高线法
如图 4，连接 AB 交 OC 于 D，根据等高线原
1 5
，yC
=|
O→C |
sin α
=
7 5
，所
以
( ) C 1 ，7 ． 55
又 sin（ α + 45°）
=
4 5
，cos（ α
+
45°）
=－
3 5
，则
xB
=|
O→B |
cos（ α + 45°）
=
－
3 5
，yB
=|
( ) O→B | sin（ α + 450 ） =
4 ，即 B 5
－
3 5
，4 5
Ｒ）
，则
m n
等于（
）
（ A）
1 3
（ B）3
（
C）Biblioteka 槡3 3（ D） 槡3
2． （2017 年 全 国 高 考 题 ） 在 矩 形 ABCD
中，AB = 1，AD = 2，动点 P 在以点 C 为圆心且 与 BD 相切的圆上． 若A→P = λ A→B + μ A→D，则 λ
+ μ 的最大值为（ ）