至此，我们可以回答题目所提出的问题。
5.2 问题的回答
5.2.1 问题一
根据各变量的相关系数，我们发现农业用水，生活用水以及降雨量相关性较强，工业 用量和人口的相关性较弱而污水处理量的相关性很低，所以我们可以认为北京市水资源 短缺风险的主要风险因子为气候条件，农业用水，生活及三产用水量这三个。而人口数及 工业用水量为次级风险因子。
5.2.1 问题一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2.2 问题二 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 模型求解
5.1 求解过程及结果
通过查阅《北京2009统计年鉴》，我们获取了总水量，农用量，工用量，生活用量，总 有量，降雨量，人口量等信息，见附表。利用SPSS软件进行Logistic回归拟合，将上述因子 作为协变量代入，进行Hosmer和Lemeshow检验，结果如表1，模型的预测效果见表2，模型 中各变量的相关性见表3。
6 模型的评价
8
2
1 问题的重述
水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地 表水和地下水。近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦 点话题。
以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量 不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给 出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约 首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施,如南水北调工程建设,建立污水 处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存 在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风 险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持 续发展战略的实施具有重要的意义。
水资源短缺风险综合评价
摘要
水资源短缺问题日趋严重，在这样的背景下，本文提出了对水资源短缺风险的综合 评价方法，首先构造隶属函数以评价水资源系统的模糊性；其次利用Logistic回归模型模 拟和预测水资源短缺风险发生的概率；而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险评价 模型，针对问题使用了聚类分析对缺水程度进行分类，最后建立时间序列模型对未来水 资源的短缺进行预测。
4
4.4 时间序列预测模型
时间序列是对某种统计指标按时间先后顺序排列所形成的数值序列。时间序列分析 主要是通过对时间序列建立一个描述该现象变化发展趋势的动态模型，并利用模型在时 间上进行外推，从而预测该现象的未来发展趋势。
而在这里我们使用ARIMA模型，ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average)自 回归积分移动平均法是美国学者George Box和英国统计学家Gwilym Jenkins所创建的博克 斯一詹金斯(B―J)方法的进一步发展和改进。该法通过对噪声概率分布的研究，知道预测 在各种概率下可能出现的偏差大小，这也很好地处理了随机干扰问题。所以说ARIMA法 较之其它方法有着明显的优点。该过程估计非季节和季节单变量的综合自回归移动平均 模型(ARIMA)，该模型具有选择固定回归自变量。本算法在序列中容许嵌入缺失值。综合 自回归移动平均模型建立包括预测值、标准误差、置信区间和残差的新序列。在任何情 况下对时间序列数据建立模型均可使用综合自回归动平均模型。
又因为分布函数的倒数等于密度函数，即F ′(x) = f (x)，我们由此将各变量带入模型， 可以计算出每一年水资源短缺的风险，如图1。
图 1 各年缺水风险 将缺水量进行标准化后与风险进行对比如图2。 从图中我们可以发现定义风险能够
图 2 缺水风险对比 较好地反映缺水程度。
然后我们利用SPSS对水资源短缺风险进行聚类分析，使用快速聚类方法将水短缺分 为5类，得到聚类结果如表4。
图 3 序列图
表 5 模型统计量 模型拟合统计量
Ljung-Box Q(18)
模型
预测变量数 平稳的R方 统计量
DF
Sig. 离群值数
VAR00001模型1
0
.368
13.123
16
.664
0
模型的sig(显著性)为0.664大于0.5，还是可以接受的模型。最终得到的预测结果2009年 缺水量为11.65，2010年为13.15亿立方米，根据带入模型计算得知皆属于中等风险。
风险可以划分为5级，从1到5分别为低风险、较低风险、中风险、较高风险、高风险。 各年的风险程度见附表。
6
表 4 最终聚类中心 聚类 1 2 3 4 5 风险 .00 .13 .41 .66 .89
对未来缺水情况预测，我们利用SPSS建立时间序列ARIMA(1,1,1)模型。得到如下数 据及时序图：
4.3 基于聚类分析的水资源短缺风险分类
为了直观对水资源短缺风险程度进行评价，我们利用快速聚类对风险进行聚类。快 速样本聚类需要确定类数，利用k均值分类方法对观测量进行聚类，根据设定的收敛判据 和迭代次数结束聚类过程，计算观测量与各类中心的距离，根据距离最小的原则把各观 测量分派到各类中心所在的类中去。事先选定初始类中心，根据组成每一类的观测量，计 算各变量均值，每一类中的均值组成第二代迭代的类中心，按照这种方法迭代下去，直到 达到迭代次数或达到中止迭代的数据要求时，迭代停止，聚类过程结束。
3 假设与符号
3.1 合理假设 • 假设题中所给数据基本真实有效
• 假设没有重大的自然灾害发生如干旱等
• 假设北京地区人口流动正常
3
3.2 符号说明 1. Wa:最小缺水量 2. Wm:最大缺水量 3. Wn:需水量 4. Ws:供水量 5. x:缺水量 6. µ(x)：隶属度函数 7. R:定义风险
3.2 符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 模型的建立
4
4.1 模糊概率的水资源短缺风险 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.2.3 问题三 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2.4 问题四 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
文采用Logistic回归模型来模拟缺水量系列的概率分布。一个自以上变量的Logistic回归模
型可写为：
1 P rob(event) = 1 + e−z
其中：z = b0 + b1x1 + b2xx + . . . + bpxp(p为自变量的数量)，b0, b1, . . . bp，分别为Logistic回归 系数。建立Logistic回归模型后，常用Hosmer-Losmer统计量进行模型的拟合度检验。
4 模型的建立
4.1 模糊概率的水资源短缺风险
对于一个供水系统来说，所谓失事主要是供水量Ws小于需水量Wn，从而使供水系统 处于失事状态。基于水资源系统的模糊不确定性，构造一个合适的隶属函数来描述供水
失事带来的损失。我们定义缺水量为x = Wn − Ws缺水量在模糊集耽上的隶属函数µ(x)， 构造如下：
我们以北京市为例，对1979-2008年的统计数据进行研究分析，利用模型得出影响水 资源短缺的主要风险因子，以及对其水资源状况进行评价和预测，最后，据此提出了解决 建议。
关键词：水资源短缺风险; 模糊概率模型; 聚类分析; 时间序列;
1
目录
1 问题的重述
3
2 问题分析
3
3 假设与符号
3
3.1 合理假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。
4. 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
2 问题分析
近年来，受气候变化和经济社会不断发展的影响，水资源短缺问题日趋严重，对水 资源短缺风险的研究已引起了广泛的重视，根据题目所提出来的几个问题，我们参考了 国内学者对此问题的研究，对于水资源风险的评价主要有三种方法：熵权模糊综合评价， 最大熵原理评价，模糊概率模型。我们选用最后一种作为我们的评价体系，首先构造隶属 函数以评价水资源系统的模糊性；其次利用Logistic回归模型模拟水资源短缺风险发生的 概率；而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型，再利用时间序列模型对未 来缺水状况进行预测；最后利用判别分析识别出水资源短缺风险敏感因子。
5
由表3可以看出各变量的相关程度，其中降雨量成高度负相关性，而污水处理相关程 度则较低。再根据SPSS拟合的数据得出Logistic回归模型如下：
1 F (x) = 1 + e−z
其中z = 144.694+41.534x1+37.837x2+104.206x3−113.792x4−89.645x5+21.048x6 ，x1, x2 . . . x6分 别代表农业用量，工业用量，生活用量，降雨量，人口，污水处理量。
4.2 水资源短缺风险的模拟概率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4